6. Zweiter Baustein ist das Rechenschema zum H2+ - Molekül

a) 1. Ansatz: Ladungsenergie zwischen Kern und Elektron ist von x - abhängig

Anhand der obigen Diagramme haben wir festgestellt, dass im Grundbereich ein numerischer Verlauf der Energie gemäß Y(x)=7,2/x+5,6x+2,3 vorliegt. Diese Funktion besitzt - wie wir aus unserer Schulzeit (hoffentlich) noch wissen - eine erste Ableitung gemäß Y’=-7,2/x²+5,6+0. Aus dem Verlauf der Kurve (Y) sehen wir, dass an der Stelle x=x₀ ein Minimum vorliegt (E=E₀). Folglich ist die Ableitung an dieser Stelle Null, also E’(x₀) = 0. Diesen Rechengang wollen wir nun mit dem folgenden Rechenschema ausführen. Damit wir zu den gewollten phänomenorientierten Ergebnissen kommen, verwenden wir die vg. normierten Kurzschreibweisen für Ladungsenergie.

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Zu diesem Rechenschema ist noch anzumerken, das im Elementarfeld generell N = 1 gilt (weil nur die halbe Erschließungswirkung existiert). Der vg. Faktor "1" in der Zeile „Kern-Elektron“ drückt aus, dass trotz Anwesenheit zweier Kerne sich die Anziehungskraft nicht verdoppelt. Die Bezeichnung „Ladungsenergie“ in der Überschriftzeile rührt daher, dass die „Bahnenergie“ in dieser Tabelle fehlt, da diese hier noch nicht bekannt ist bzw. mit diesem Schema ja gerade ermittelt werden soll. Zudem gilt die Definition f = r/x₀. Wie wir aus dem Diagramm der Potenzialkurve sehen können, ist an der Stelle x = x₀ die Steigung der Kurve gleich Null. Die Summe der 1.Ableitungen der Ladungsenergien (E’) ist aber ungleich Null. Dies bedeutet, dass noch ein weiterer Term als 1.Ableitung existieren muss, damit es zur beobachteten Nullergänzung kommt. Da in vg. Tabelle aber nur noch die Bahnenergie fehlt, ist die Bahnenergie (ob insgesamt oder nur ein Teil hiervon, wird sich noch herausstellen) zwingend auch vom Kernabstand „x“ abhängig. Anderenfalls würde ja deren 1.Ableitung nicht existieren! Diesen x –abhängigen Bahnenergieanteil ordnen wir der Anwesenheit des zweiten Kerns zu und bezeichnen ihn mit „E’_2.Bahn“. Damit lässt sich nun die x –Abhängigkeit der Bahnenergie berechnen. Da also E’_Lad + E’_2.Bahn = 0 gilt, ist E’_2.Bahn = -E’_Lad und damit E’_2.Bahn = +E_H1·r_H1/x₀²·(1+1/f²). Durch Integration erhalten wir den folgenden rechnerischen Ausdruck für die 2.Bahnenergie:

E_2.Bahn(x) = E_H1·r_H1·x/x₀²·(1+1/f²)

Wir müssen hier beachten, dass in diesem Rechenschema die Anziehungsenergie (E_an) auf den Kernabstand (x) orientiert ist (1.Ansatz), womit auch für diese Energie eine erste Ableitung existiert. Daher tritt in vg. Formel der Faktor 1/f² auf. Ferner fehlt die mit der Integration einhergehende Integrationskonstante. Diese Energiekonstante ist zwingend der Bahnenergie zuzuordnen, weil anderweitige Phänomene nicht existieren. Wir bezeichnen diese Integrationskonstante mit E_1.Bahn. Die Energiekonstante lässt sich berechnen, indem wir den an der Stelle x = x₀ geltenden Messwert der absoluten Energie (E=E₀) in unsere Überlegungen einbeziehen. An der Stelle x = x₀ gilt E₀ = E_Bahn + E_Lad, wobei der Messwert für E₀ = rd. 15,0 eV beträgt. Interessanterweise entspricht dieser Wert ziemlich genau dem Ausdruck E₀ @ E_H1/j^3/2. Eine Erklärung für diese Schreibweise wird im Kapitel „Ursache der Bahnwirkung“ gegeben. Ebenso können wir dem Messwert für x₀ = rd. 1,132°A eine adäquate Formel zuordnen. Es entspricht diese Größe ziemlich genau dem Ausdruck x₀ = 2/ j·r_H1 = (2/ja)²·l. Folglich gilt E_1.Bahn + E_2.Bahn + E_Lad = E₀. Es ist also E_1.Bahn = E₀ – E_Lad – E_2.Bahn. Wir setzen nun die im vg. Rechenschema stehenden Ausdrücke ein und erhalten die Gleichung E_1.Bahn = E₀ – [-E_H1·r_H1/x₀·(-1+1/f²)] – [E_H1·r_H1·x/x₀²·(1+1/f²)]. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir für x = x₀ über den Ausdruck E_1.Bahn = E₀ + [E_H1·r_H1/x₀·(-1+1/f²)] + E_H1·r_H1·x/x₀²·(-1-1/f²) die Formel E_1.Bahn = E₀ + [E_H1·r_H1/x₀·(-1+1/f²)] + E_H1·r_H1·1/x₀·(-1-1/f²) und damit die Gleichung

E_1.Bahn = E₀ - 2·E_H1·r_H1/x₀

Diese über das Rechenschema zwingend ermittelte Formel für die 1.Bahnenergie zeigt, dass der Faktor f und damit auch der Elektronabstand vom Kern, für die 1.Bahnenergie unerheblich ist. Damit sind wir in der Lage, die Potenzialkurve im Grundbereich mit unseren Formeln zu beschreiben! Es ist Y(x) = E_H1·r_H1·1/x – (E_H1·r_H1·1/r²·x) + [E_H1·r_H1·x/x₀² + E_H1·r_H1·x/r²] + [E₀ - 2·E_H1·r_H1/x₀]. Hieraus erhalten wir Y(x) = E_H1·r_H1·1/x + E_H1·r_H1·x/x₀² + [E₀ - 2·E_H1·r_H1/x₀]. Wir können diesen Ausdruck in eine Zahlenwertgleichung überführen. Hierzu setzen wir E_H1=13,56 eV, r_H1=0,529°A, x₀=1,132°A. Es ergibt sich dann Y(x) = 7,173/x + 5,600x + 2,324, womit wir über den gesamten Grundbereich den beobachteten Verlauf der Potenzialkurve exakt getroffen haben. Da wir aber nur von einer Übereinstimmung mit der Kurve in 2 Punkten ausgegangen sind, nämlich E’(x₀) = 0 und E(x₀) = E₀, bedeutet die nun vorliegende Übereinstimmung über den gesamten Grundbereich des Kurvenverlaufs, also über alle Punkte, dass die in unserem Rechenschema angesetzten Formeln nicht zufällig zutreffend sind. Es bedeutet die Übereinstimmung also nicht, dass der Kurvenverlauf auf mathematischem Wege erzwungen wurde. Damit haben wir eindeutig die Richtigkeit unserer Ansätze bewiesen. Es ist daher das Auftreten hälftiger Ladungsenergie als real anzusehen. Demnach sind auch die über das Rechenschema sich ergebenden Größen für die Bahnenergie als wesentliche Merkmale eines Moleküls anzusehen. Bevor wir unseren Weg nun weiter beschreiten, wollen wir doch dieses Ergebnis vergegenwärtigen und zusammenfassen: „Unsere Untersuchungsmethode spiegelt die Realität!“ Es liefern also auch die beiden Formeln für die Bahnenergie das rechnerisch exakt richtige Ergebnis. Aber Vorsicht, dies bedeutet noch lange nicht, dass mathematisch richtige Formeln auch die physikalischen Zusammenhänge richtig darstellen. Da Integrationsenergie und konstante Energie nur dem Phänomen Bahnumlauf zugeordnet werden können, fassen wir beide Energieanteile nun zusammen. Demnach ist E_Bahn = E_1.Bahn + E_2.Bahn und es ergibt sich über E_Bahn = E₀ - 2·E_H1·r_H1/x₀ + E_H1·r_H1·x/x₀² + E_H1·r_H1·x/r² mit f = r/x₀ der Ausdruck E_Bahn = E₀ - 2·E_H1·r_H1/x₀ + E_H1·r_H1·x/x₀²+ E_H1·r_H1·x/(f·x₀)² bzw. E_Bahn = E₀ – 2·E_H1·r_H1/x₀ + E_H1·r_H1·x/x₀²·(1+1/f²) und damit für den 1.Ansatz der x –Abhängigkeit der Anziehungsenergie die allgemein gültige Energiegleichung gemäß E_Bahn = E₀ + E_H1·r_H1·1/x₀²·[(1+1/f²)·x-2x₀].