9. Bestimmung des Orbitalradius

a) Allgemein

Die einzige Möglichkeit zur Bestimmung des Orbitalradius (r_B) besteht in der Gleichsetzung des rechnerischen Wertes der Bahnenergie, die den realen Wert der Energie liefert, mit der abgeleiteten normierten Form der Bahnenergie, die als reales physikalisches Phänomenen gegeben ist. In soweit ist dies ein Versuch, den Radius des Molekülorbitales theoretisch vorherzusagen. Im Falle der x –Abhängigkeit der Anziehungsenergie gilt die Energiegleichung E_B = E₀ + E_H1·r_H1/x₀²·2·[(1+x₀²/r²)·x-2x₀] = z·E_H1·(r_H1/r_B)²·[360/(360-g_B)·1/2]. Im anderen Falle der Nicht –x –Abhängigkeit der Anziehungsenergie lautet die Gleichung E_Bahn = E₀ + E_H1·r_H1·1/x₀²·[x-(2-1/f)·x₀)] = z·E_H1·(r_H1/r_B)²·[360/(360-g_B)·1/2.] Demnach unterscheiden sich beide Ansätze nur durch die jeweils auf der linken Seite stehende eckige Klammer.

Diese Energiegleichungen beinhalten mit Überlappungswinkel, Bahnradius und Bahnwirkungsvielfaches (z) jeweils noch Unbekannte. Zur Bestimmung dieser Unbekannten verfügen wir nur über diese Gleichungen sowie über die gegebenen Grenzen des Grundbereiches. Zudem bestehen noch Abhängigkeiten aus dem Kräftegleichgewicht der Elementarteilchen. Da wir hier über weniger Lösungsgleichungen verfügen, als Unbekannte vorhanden sind, muss zur Bestimmung des Orbitalradius eine Annahme getroffen werden. Diese Annahme wäre ggf. entbehrlich, wenn wir Untersuchungen zum Kräftegleichgewicht anstellen und hier einbeziehen würden. Auf diese Abhängigkeiten wird in dieser Arbeit nicht eingegangen.

Wir definieren daher, dass sich der Überlappungswinkel (g_B) – in der Nulllage der beiden Kerne (x = x₀) – ebenfalls in der Nulllage befindet, also genau in der Mitte zwischen den Grenzenwerten 0° und 180°. Wir rechnen also mit g_B=90°. Dies ist unsere erste Annahme (von zwei) zur Bestimmung des Orbitalradius. Alles weitere ergibt sich dann, wie wir gleich sehen werden, mehr oder weniger zwangsläufig. Mit der vg. Energiegleichung können wir den Abstand zwischen Kern und Elektron bestimmen. Es gilt mit g_B=90° für alle x, also auch für die Nulllage, die Formel E₀ + E_H1·r_H1/x₀²·2·[(1+x₀²/r²)·x-2x₀] = z·E_H1·[(r_H1/r_B)²]·[360/(360-90)·1/2] bzw. mit r_B=f_B·r ist E₀ + E_H1·r_H1/x₀²·2·[(1+x₀²/r²)·x-2x₀] = z·E_H1·1/f_B²·r_H1²/r²·[2/3]. Aus diesen beiden Formel ergibt sich r in Abhängigkeit vom Kernabstand (x). Durch Ausmultiplizieren, was wir hier (ausnahmsweise) nicht angeben, erhalten wir für den 1.Fall der x –Abhängigkeit der Anziehungsenergie den Ausdruck

r(x) = x₀·[(2/j^5/2·{3/2·1/f_B²}– x/x₀)/(2/j^5/2 + x/x₀ – 2)]^½

Es ist sofort zu sehen, dass diese Formel sich erheblich vereinfacht, wenn f_B²=3/2 wäre. In diesem Fall würde sich in der Nulllage, also an der Stelle x = x₀ der Ausdruck in der eckigen Klammer zu 1 ergeben und wir würden erhalten

r(x₀) = x₀

Mit dieser 2.Annahme besteht zwischen einem Proton und den auf dem Umfang des von beiden Orbitalen gebildeten Schnittkreises gegenüberliegenden Punkten ein Winkel von g_r = 120° (diese drei Punkte bilden ein gleichseitiges Dreieck). Damit unterscheidet sich dieser Winkel von unserem gerade eben definierten Überlappungswinkel (g_B = 90°). Uns ist bewusst, dass mit dieser (nicht unbedingt naheliegenden) Annahme für den Überlappungswinkel der Mittelpunkt eines Orbitales mit der Lage des zugehörigen Kerns nicht mehr zusammenfällt! In unserer Vorstellung, die wir bereits bei den Untersuchungen zum Wasserstoffatom dargelegt haben, stellt dies aber kein Problem dar, da nicht das Elektron auf einer Bahn umläuft, sondern nur die vom Elektron erzeugte Wirkung, die sich im Phänomen der Elektronenhülle manifestiert. Es ist eben ein klassischer Irrtum, die Bahnwirkung auf einen mechanischen (materiellen) Drehimpuls der Elektronmasse zurückführen zu wollen, womit das Elektron sich nicht mehr im Abstand r vom Kern aufhalten würde. Aber dies würde trotzdem nicht bedeuten, dass unsere normierten Formeln falsch wären, denn wir haben festgestellt, dass der Verlauf der Potenzialkurve unabhängig von r ist. Aus unserer Sicht jedenfalls können sich aus prinzipiellen Gründen gar keine Einwände gegen den Ansatz verschiedener Winkel ergeben. Da also in der Nulllage r = x₀ gilt, befindet sich das Elektron in einen senkrechten Abstand gemäß a = ½(3)^½·x₀ über der Kernverbindungsachse (siehe Prinzipbild). Da wir in der Nulllage zur Bestimmung von r_B jedoch mit ½g_B = 45° rechnen, ist r_B² = 2a² (da hier ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt). Somit ist für den Bahnradius die Formel anzusetzen:

r_B(x₀) = (3/2)^½·x₀

Damit liegt der Bahnradius fest und wir sehen unsere 2.Annahme f_B²=3/2 wieder. Im folgenden rechnen wir mit g_r=120° und g_B=90°, da sich nur mit diesen Ansätzen die einfachst möglichen Strukturen ergeben. Es stellt sich nun die Frage, welche Auswirkungen eine durch Energieabsorption bewirkte Auslenkung des Kernabstandes aus der Nulllage (x₀ = x ± Dx) auf die Elektronenhülle hat. Hierzu bestehen zwei Möglichkeiten:

1. Die Abstandsveränderung führt bei gleichem Orbitalradius (r_B) zu einer Veränderung des Überlappungswinkels (g_B). Diese Gegebenheiten werden mit ng. Modell 1 untersucht.

2. Die Abstandsveränderung führt bei gleichem Überlappungswinkel (g_B) zu einer Veränderung des Orbitalradius (r_B), siehe hierzu Modell 2.

Beide Ansätze führen in der Nulllage definitionsgemäß zum gleichen Ergebnis.