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Kapitel I Physikalische Grundlagen

Statistische Aussagen der Quantentheorie

Wir beginnen unsere Überlegungen mit dem Doppelspaltexperiment. Sprüht man mit einer Farbsprühdose kleine Farbtröpfchen durch einen Doppelspalt -wobei die einzelnen Spalte nicht zu weit auseinander liegen dürfen- auf einen dahinter liegenden Papierschirm, ergibt sich ein Muster wie in Abb. 1 (a).

 

Doppeltspaltversuch mit Farbtröpfchen (klassische Teilchen)

Abbildung 1

 

Die Intensität der Farbe auf dem Papier ist hinter den Spalten am größten und nimmt nach außen hin kontinuierlich und ohne auffällige Strukturen ab. Wir beschreiben die Verteilung der Farbintensität durch eine Funktion P(x). Wird nun Spalt 2 abgedeckt, (Abb. 1 (b), so dass nur Farbtröpfchen von Spalt 1 auf das Papier gelangen, ergibt sich die Farbintensitätsverteilung P1(x). Danach wird der andere Spalt abgedeckt, so dass nur Farbe von Spalt 2 auf das Papier gelangt. Wir erhalten so die Verteilung P2(x) (Abb. 1 (c). Für die in den beiden Experimenten gewonnenen Farbintensitätsverteilungen P(x), P1(x) und P2(x) gilt:

(1)

Für klassische Teilchen ist die beim Doppelspalt gewonnene Verteilung gleich der Summe der beiden Einzelspaltverteilungen (Abb. 1 (d)). Dies ist auch so bei Wasserwellen, die wir auf einem See beobachten können, wenn wir zwei Steine nicht zu weit voneinander entfernt ins Wasser werfen.

Ganz anders verläuft ein entsprechendes Experiment mit Quantenobjekten (z. B. mit Elektronen).

Doppelspaltversuch mit Elektronen

Abbildung 2

 

Bei zwei geöffneten Spalten ergibt sich ein charakteristisches Interferenzmuster.

(a) Elektronenbeugungsröhre, (b) Beugungsmuster auf dem Leuchtbildschirm

Abbildung 3

In einer Elektronenröhre (Abb. 3 (a)) emittiert die mit 6 V geheizte Kathode Elektronen. Diese durchlaufen eine Beschleunigungsspannung Ub= 5 KV. Sie werden von den nacheinander angeordneten Elektroden K1, K2 und A1 zu einem Elektronenstrahl gebündelt. In der durchbohrten Anode A2 durchquert der Strahl eine dünne Folie aus polykristallinem Graphit. Auf dem Leuchtschirm erkennt man mehrere helle Ringe um den zentralen Fleck in der Mitte (Abb. 3 (b)). Die hellen Ringe werden durch Elektronenbeugung verursacht. Die Beugung erfolgt am Kristallgitter des Graphit. Dieses Beugungsphänomen ist ein starker Hinweis darauf, dass die Elektronen neben ihrem Teilchenverhalten auch Wellenverhalten zeigen. Beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen ergibt sich folgendes Interferenzmuster.

Aufbau des Interferenzmusters beim Doppelspalt-Experiment

Abbildung 4

Die Intensitätsverteilung der Elektronen (s. Abb. 4 (d)) bezeichnen wir wieder mit P(x). Nun wird Spalt 2 abgedeckt und wir erhalten die Elektronenverteilung P1(x) , deren Maximum hinter Spalt 1 liegt (s. Abb. 2 (b)). Nun öffnen wir Spalt 2 und schließen Spalt 1. Alle Elektronen müssen jetzt durch Spalt 2. Es ergibt sich die Verteilung P2(x) (s. Abb. 2 (c)). Legt man die beiden Verteilungsmuster übereinander (Abb. 2 (d)), ergibt sich eine andere Verteilung, als bei zwei gleichzeitig geöffneten Spalten. Für Elektronen gilt

(2)

Im Gegensatz zu klassischen Teilchen stellt es für Elektronen einen Unterschied dar, ob beide Spalte gleichzeitig offen sind oder ob einer nach dem anderen geöffnet wird. Beim Vergleich von Abb. 2 (a) und (c) fällt auf, dass bei zwei geöffneten Spalten (Abb. 2 (a)) es mehrere Intensitätsminima gibt, an denen fast keine Elektronen nachgewiesen wurden. Aber an diesen Stellen ist die Elektronenintensität größer, wenn nur ein Spalt geöffnet ist. Auf den ersten Blick mag das Verhalten solcher Quantenobjekte (Elektronen, Photonen, Atome) –im folgenden abgekürzt mit QO- recht regellos erscheinen. Beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen wurden einzelne Elektronen als „Flecke“ auf dem Schirm nachgewiesen. Niemand konnte vorhersagen, wo das nächste Elektron landen wird. Man kann aber die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, wo das nächste Elektron nachgewiesen wird. Die Intensitätsverteilung der Elektronen wurde in den vg. Versuchen durch eine Verteilungsfunktion P(x) charakterisiert, die angab, wie hoch die Intensität an einer bestimmten Stelle x war. Diese Verteilungsfunktion P(x) interpretiert man quantenmechanisch als eine Wahrscheinlichkeitsdichte. gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Elektron im Raumbereich um den Ort x herum zu finden. An Stellen, wo die Wahrscheinlichkeit hoch ist, werden viele Elektronen registriert. Entsprechend werden an Stellen mit niedriger Wahrscheinlichkeit weniger Elektronen gefunden. Eine derartige Wahrscheinlichkeitsaussage lässt sich natürlich nur überprüfen, indem man eine große Zahl von Experimenten an identisch präparierten einzelnen Elektronen macht. Der Begriff „identisch präpariert“ bedeutet hierbei folgendes:

Zunächst versucht man, an einem physikalischem Objekt (z. B. Licht oder Elektronen) eine bestimmte dynamische Eigenschaft (z. B. Wellenlänge oder kinetische Energie) herzustellen. Um sicherzustellen, dass es die gewünschte Eigenschaft besitzt, führt man ein zweites Experiment durch, das diese Eigenschaft überprüft. Besitzt das Objekt die Eigenschaft, zeigt es sie in diesem Test. Wenn man mit Sicherheit vorhersagen kann, dass ein Test eine bestimmte Eigenschaft bestätigt, dann ist die Vorstellung erlaubt, dass das Objekt diese Eigenschaft wirklich besitzt, sie also dem Objekt auch unabhängig vom Test zukommt. Wir werden später sehen, dass im Bereich der Quantenphysik diese Vorschrift sehr genau beachtet werden muss. Es wird sich herausstellen, dass man in Widerspruch zu den Phänomenen gerät, wenn man QO eine Eigenschaft unabhängig von einer Präparation, einem Test oder einer Messung zuschreibt.

Im Doppelspaltexperiment wird diese Vorschrift eingehalten: Sehr viele von einander unabhängige (d.h. sich nicht gegenseitig beeinflussende) Elektronen, diese werden als Ensemble bezeichnet, durchlaufen die gleiche Versuchsapparatur. Wir merken uns den Grundsatz, dass die Wellenfunktion einem Ensemble von identisch präparierten QO zugeordnet ist, die diese präparierte Eigenschaft tatsächlich besitzen. Es hat sich als vorteilhaft herausgestellt, nicht mit P(x) selbst zu arbeiten, sondern mit einer Funktion Y(x), die man Wellenfunktion nennt. Man erhält P(x) aus Y(x) durch Quadrieren: P(x)= Y(x)².

Der zentrale Punkt, der es erlaubt, den Welle-Teilchen-Dualismus in der QM zu überwinden, ist nun, dass die Wellenfunktion Y(x) sich nach den Gesetzen der klassischen Wellenlehre entwickelt! Das bedeutet, dass sich Y(x) ähnlich wie eine klassische Wasser-, Schall- oder elektromagnetische Welle, ausbreitet, wobei alle typischen Wellenphänomene (Interferenz, Beugung am Spalt) auftreten.

Die Interpretation von P(x)= Y(x)² als Wahrscheinlichkeitsdichte ist eines der zentralen Elemente der QM. Die Beziehung

(3)

ist die „Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation“.

Max Born, 1882 - 1970

 

Wegen der großen Bedeutung dieser Interpretation für die QM, wollen wir sie im folgenden näher ausführen.

Machen wir uns wiederum anhand des Doppelspaltexperiments klar, welche Konsequenzen die wellengemäße Ausbreitung von Y(x) zusammen mit Y(x)² hat. Die Elektronen wurden als „Flecke“ detektiert, zeigten also beim Nachweis teilchenartiges Verhalten. Dieses Verhalten erreicht man, wenn das Experiment nur mit einzelnen Elektronen durchgeführt wird.

 

Allmählicher Aufbau des Doppelspalt-Inteferenzmusters aus einzelnen Aufschlägen

Abbildung 5


Führt man das Doppelspaltexperiment mit einzelnen Elektronen durch, so hinterlassen sie punktförmige „Flecke“ an scheinbar zufälligen Stellen auf dem Schirm (Abb. 5). Je mehr Elektronen nachgewiesen werden, ist festzustellen, dass sich ein Muster herausbildet. Wir wollen uns nun darauf konzentrieren, welche Vorhersagen man über den Ort auf dem Schirm machen kann, an dem ein bestimmtes Elektron nachgewiesen wird. Wir wiederholen den Versuch von neuem. Können Sie vorhersagen, an welcher Stelle auf dem Schirm das erste Elektron nachgewiesen wird- Es dürfte nicht gelungen sein, den Ort dieses neuen Flecks vorherzusagen. Die Unmöglichkeit einer detaillierten Vorhersage über Einzelereignisse ist etwas ganz Neues und charakteristisch für die QM.

Die Vorhersage wird erfolgreicher, wenn man das Experiment ein wenig modifiziert. Es sollen nun 100 Elektronen hinzugefügt werden. Können Sie vorhersagen, an welchen Stellen viele Elektronen landen werden und an welchen Stellen wenige- Vermutlich war die Vorhersage im letzten Experiment recht zuverlässig. Dies liegt daran, dass wir von einer Aussage über ein Einzelereignis zu einer Wahrscheinlichkeitsaussage übergegangen sind. Tatsächlich ist es ein ganz allgemeiner Zug der QM, dass im allgemeinen keine Vorhersagen über Einzelereignisse möglich sind; man ist daher gezwungen, zu statistischen Aussagen überzugehen. Wir merken uns den Grundsatz: Die QM macht statistische Aussagen über die relative Häufigkeit der Ergebnisse bei oftmaliger Wiederholung des gleichen Experiments. Aussagen über Einzelereignisse sind im allgemeinen nicht möglich.

Es erscheint uns recht seltsam, dass sich aus vielen dieser Flecke dennoch das Interferenzmuster herausbildet, das typisch für Wellenverhalten ist. Im Lichte der Born’schen Wahrscheinlichkeitsinterpretation haftet diesem Ergebnis nichts Geheimnisvolles mehr an. Die Elektronen werden durch eine Wellenfunktion Y(x) beschrieben, die sich nach klassischen Wellengesetzen ausbreitet. In Analogie zur Wellenoptik bildet sich eine Beugungsfigur.

Wahrscheinlichkeitsverteilung (graue Schattierung) und nachgewiesene Elektronen (schwarze Punkte)

Abbildung 6

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung als graue Schattierung und die nachgewiesenen Elektronen als schwarze Punkte. Je dunkler die Schattierung, um so größer ist Y(x)². Dagegen gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Elektron an einem bestimmten Ort, als teilchenhaft nachzuweisen (schwarze Punkte in Abb. 6). Dies zeigt, dass die statistischen Aussagen der QM reproduzierbar sind: Jedes mal wenn die gleiche Serie von Experimenten durchgeführt wird, ergibt sich dieselbe Verteilung der relativen Häufigkeiten.

Betrachten wir erneut das Doppelspaltexperiment, bei dem nur Spalt 1 geöffnet ist (Abb. 2 (b) bzw. Abb. 7). Man ordnet diesen QO eine Wellenfunktion Y1(x) zu, die sich wie eine Wasserwelle halbkreisförmig hinter Spalt 1 ausbreitet.

 

Wellenfunktion beim Doppelspalt-Experiment

Abbildung 7

 

Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron auf dem Schirm an der Stelle x zu finden, ist durch P1(x)= Y1(x)² gegeben. Sie ist hinter Spalt 1 am größten. Das Ensemble von Elektronen, auf das sich die Wellenfunktion Y1(x) bezieht, besteht aus einer Menge von einzelnen Elektronen, die alle dem gleichen Präparationsverfahren unterzogen wurden, indem sie Spalt 1 durchquert haben. Jedes Elektron wird an einem anderen Ort auf dem Schirm nachgewiesen, wobei es einen teilchenhaften Fleck hinterlässt. Die Verteilung, die sich auf dem Schirm nach dem Nachweis von sehr vielen Elektronen ergibt, ist ein Abbild der Wahrscheinlichkeitsfunktion P1(x). Wird Spalt 1 verschlossen und Spalt 2 geöffnet, ergibt sich die Wellenfunktion P2(x), die von Spalt 2 ausgeht. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist durch P2(x)= Y2(x)² gegeben. Nimmt man die beiden Verteilungen der getrennt durchgeführten Experimente zusammen, erhält man die Gesamtverteilung wie in Gl. (1):

(4)

Anders sieht die Situation aus, wenn im Doppelspaltexperiment beide Spalte geöffnet sind. Jetzt geht von beiden Spalten eine Welle aus. Nach der klassischen Wellentheorie überlagern sich die beiden Wellen, wie man es z. B. auf der Oberfläche eines Sees beobachten kann, wenn man zwei Steine nicht allzu weit entfernt voneinander ins Wasser wirft. Mathematisch wird die Addition beider Wellenfunktionen zum Ausdruck gebracht durch:

(5)

Nun kommt der entscheidende Punkt: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x) erhält man aus der Wellenfunktion (5) durch Quadrieren: P(x)= Y(x)². Setzt man die Wellen (5) ein, ergibt sich der Ausdruck:

(6)

Hier wird angenommen, dass die Wellenfunktion reell ist.

In der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x) tritt zu den beiden Einzel-Spalt-Verteilungsfunktionen P1(x)= Y1(x)² und P2(x)= Y2(x)² noch ein zusätzlicher Term hinzu, den man Interferenzterm nennt. Man kann die letzte Gleichung auch folgendermaßen schreiben:

(7)

Man kann so erklären, warum man beim Doppelspaltexperiment mit zwei geöffneten Spalten eine Verteilung der Elektronen findet, für die gilt (vgl. Gl. (2)):

(8)

für die man also nicht einfach die beiden Einzelverteilungen P1(x) und P2(x) addieren kann. Der Vergleich mit (7) macht deutlich: Der Interferenzterm, der sich beim Ausmultiplizieren ergeben hat, ist dafür verantwortlich, das in (8) kein Gleichheitszeichen steht. Das Ensemble von sehr vielen Elektronen, die einzeln die Versuchsanordnung „Doppelspalt“ durchlaufen, wird durch die Wellenfunktion Y(x)= Y1(x)+ Y2(x) beschrieben. Durch Quadrieren der Wellenfunktion Y(x) erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x), die den für einen Überlagerungszustand charakteristischen Interferenzterm enthält. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wiederum bestimmt die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Elektron, an einer bestimmten Stelle auf dem Schirm gefunden zu werden. Dabei wird es als Teilchen nachgewiesen. Sehr viele Elektronen, die auf dem Schirm nachgewiesen werden, hinterlassen auf dem Schirm eine Verteilung, welche die Wellenstruktur der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x) widerspiegelt.

Da wir die explizite mathematische Form der Wellenfunktion an dieser Stelle noch nicht kennen, können wir zwar noch nicht bestätigen, dass die genaue Form der Verteilung tatsächlich korrekt wiedergegeben wird. Wir können aber an der Struktur der Gleichung und ihrer Interpretation ablesen, dass das Problem des Welle-Teilchen-Dualismus, das unser Verständnis der Quantenphänomene erschwert, überwunden ist.


Heisenberg’sche Unbestimmheitsrelation

Werner Heisenberg, 1901 - 1976

 

„Präparieren“ bedeutet, dass bei Messungen der präparierten Größe zu einem Ensemble von Kugel die Streuung der Messwerte verschwindet bzw. sehr klein wird. Ein Beispiel ist der waagerechte Wurf, bei dem Kugeln einer parabelförmigen Bahn folgen, nachdem sie von einer Abschussvorrichtung abgeschossen wurden (Abb. 7.1)

 

Präparation und Bahnkurve beim waagerechten Wurf

Abbildung 7.1

 

Die Kugeln bewegen sich immer auf der gleichen Bahn, sofern alle die gleichen Anfangsbedingungen besitzen, d. h. identische Werte am Abschussort und der Abschussgeschwindigkeit. Diese Vorrichtung kann man bauen, wie Abb. 7.1 zeigt. Die Erfahrung zeigt, dass es in der klassischen Physik keine prinzipielle untere Grenze für die gleichzeitige Verkleinerung der Streuungen in den Anfangsbedingungen gibt. Beim waagerechten Wurf reicht das die Präparation einer einzelnen Größe allerdings nicht aus. Zur Herstellung gleicher Anfangsbedingungen für alle Kugeln müssen Ort und Impuls gleichzeitig präpariert werden, und zwar sowohl in x- als auch in y-Richtung. Dieser Umstand erscheint nicht weiter bemerkenswert. Nach allen Alltagserfahrungen kommt es einem selbstverständlich vor, dass man zwei Eigenschaften gleichzeitig präparieren kann, wenn man jede von ihnen einzeln präparieren kann.

Umso überraschender ist es, dass in der QM genau dies nicht der Fall ist: Es gibt Paare von Eigenschaften (z. B. Ort und Impuls) deren gleichzeitige Präparation prinzipiell nicht möglich ist, obwohl die Präparation jeder einzelnen auf keine grundsätzlichen Grenzen stößt. Dies ist der Inhalt der Heisenberg’schen Unbestimmtheitsrelation, die nun näher erläutert wird.

Hierzu machen wir ein Experiment mit Elektronen am Einzelspalt.

 

Elektronen dicht hinter dem Einzelspalt

Abbildung 7.2

Ein Strahl Elektronen fällt auf einen Spalt der Breite d. Unmittelbar hinter dem Spalt steht ein hochauflösender Detektor, der die Elektronen mit einer weit höheren Auflösung als der Spaltbreite nachweisen kann. Er registriert die Zahl der Elektronen, die pro Sekunde an einer bestimmten Stelle ankommen.

Der Detektor führt Ortsmessungen an den Elektronen durch, die vom Spalt durchgelassen werden. Natürlich wird man so dicht hinter dem Spalt alle Elektronen in dem kleinen Gebiet finden, das vom Spalt nicht abgedeckt ist. Um die Verteilung der Messwerte innerhalb dieses Gebietes statistisch zu erfassen, ermittelt man ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung Dy. Der Mittelwert gibt an, wo die Verteilung der Messwerte ihren „Schwerpunkt“ besitzt, die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung.

Die Verteilung der Ortsmesswerte sieht wie in Abb. 7.2 (b) aus. Die Elektronen sind gleichmäßig hinter dem Spalt verteilt. Die Standardabweichung der Ortsmesswerte ist von der Größenordnung der Spaltbreite. Wenn der Spalt relativ schmal ist, ist auch die Streuung recht klein. Bei einem breiteren Spalt weisen die Ortsmesswerte eine größere Streuung auf (Abb. 7.2 (c)).

Mit der Standardabweichung Dy hat man ein Maß gefunden, mit dem man die Güte einer Präparation festlegen kann. Wenn die Streuung der Messwerte Null ist, ist die Präparation perfekt (im Fall der Ortspräparation mit einem Spalt ist dies nicht zu erreichen, weil man dazu den Spalt immer enger machen müsste, bis er schließlich ganz verschlossen ist). Wenn die Standardabweichung nicht Null ist, bedeutet das, dass die Messwerte streuen. In diesem Fall ist die Präparation nicht perfekt und die Standardabweichung gibt darüber Auskunft, wie sehr die Präparation der betreffenden Eigenschaft von einer idealen Präparation abweicht. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Eigenschaft relativ gut präpariert ist, während bei einer großen Standardabweichung keine gute Präparation vorliegt.

Nach der Heisenberg’schen Unbestimmtheitsrelation kann man an einem Ensemble von QO Ort und Impuls nicht gleichzeitig perfekt präparieren. Nachdem wir im vorherigen Abschnitt mit der Standardabweichung ein Maß für die Güte einer Präparation gefunden haben, können wir fragen, in welchem Ausmaß Orts- und Impulspräparation unvereinbar sind. Das bedeutet: Wenn man eine experimentelle Anordnung betrachtet, bei der Ort und Impuls nur näherungsweise präpariert werden – gibt es dann eine Grenze, wie nahe man dem Ideal einer perfekten Präparation kommen kann-

Hierzu modifizieren wir den Versuch mit Elektronen am Einzelspalt, d.h. der Detektor befindet sich nicht mehr dicht hinter dem Spalt, sondern in etwas größerer Entfernung, d. h. wir betrachten den Versuch, mit Hilfe eines Spalts an Elektronen gleichzeitig Ort y und Impuls py senkrecht zur Strahlrichtung zu präparieren.

Elektronen am Einzelspalt

Abbildung 7.3

Die Güte der Orts- bzw. Impulspräparation wird durch die Streuung der Messwerte einer entsprechenden Testmessung beschrieben. An dem Ensemble von Elektronen, das durch den Spalt präpariert wird, nimmt man also – genau wie im vorigen Abschnitt – die Verteilung der Ortsmesswerte unmittelbar hinter dem Spalt auf. Dann ersetzt man den hochauflösenden Ortsdetektor durch ein Impulsmessgerät und ermittelt damit die Verteilung der Impulsmesswerte. Beide Verteilungen werden in ein Diagramm übertragen und ihre Standardabweichungen werden ermittelt. So erhält man die Ortsstreuung und die Impulsstreuung .

Verteilung der Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten und einen schmalen Einzelspalt

Abbildung 7.4

 

Die Ergebnisse sind in Abb. 7.4 gezeigt: Für einen breiten Spalt ergibt sich eine relativ große Ortsstreuung, aber eine kleine Impulsstreuung (Abb. 7.4 (a)). Dagegen ist bei einem schmalen Spalt die Ortsstreuung klein, aber die Impulsstreuung groß (Abb. 7.4 (b)). Die beiden Streuungen scheinen im vorliegenden Beispiel reziprok miteinander verknüpft zu sein: Die Streuung der Impulsmesswerte nimmt zu, wenn die Streuung der Ortsmesswerte abnimmt und umgekehrt. Man kann sich nun diesen reziproken Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsstreuung theoretisch plausibel machen. Die Quelle präpariert Elektronen mit der Eigenschaft „Impuls“. Alle Elektronen besitzen in x-Richtung den Impuls . -diesen Zusammenhang werden wir später herleiten (s. Gl. (15a))- und keine Komponente in y-Richtung: py=0.

Abschätzung der Impulsstreuung

Abbildung 7.5

Durch die Beugung am Spalt verliert der Elektronenstrahl seine ursprüngliche Impulseigenschaft. Hinter dem Spalt misst man die in Abb. 7.5 gezeigte statistische Streuung der Querimpulse py. Auf dem Weg vom Spalt zum Schirm weitet sich der Strahl daher auf und bildet das beobachtete Beugungsmuster aus. Je größer die Streuung der Querimpulse ist, desto breiter wird das Beugungsbild auf dem Schirm ausfallen. Daher kann man mit der Breite des Beugungsmusters auf dem Schirm die Streuung der Impulsmesswerte am Spalt abschätzen. Der Großteil der Elektronen wird auf dem Schirm innerhalb des Hauptmaximums der Beugungsfigur registriert, also innerhalb des Winkelbereichs zwischen +a und -a (Abb. 7.5 (a)). Zur Abschätzung der Streuung der Querimpulse Dpy kann man sich daher auf diesen Bereich beschränken. Aus Abb. 7.5 (b) liest man den Zusammenhang ab. Der Bereich des Hauptmaximums ist durch die ersten Beugungsminima begrenzt, dessen Lage aus der klassischen Optik bekannt ist: sina=l/d. Im Fall der Elektronen ist l die de-Broglie-Wellenlänge des auf Impuls präparierten einfallenden Strahls l=h/p, auch diesen Zusammenhang werden wir später herleiten, (s. Gl. (15)). Also gilt: sina=h/(pd). Setzt man sina=Dpy/p ein, ergibt sich Dpy=h/d. Mit d»Dy erhalten wir Dpy·Dy»h Gl. (8a).

Dies ist die gesuchte Gleichung, die für unser Spaltbeispiel die Streuungen der Orts- und der Impulsmesswerte in gesetzmäßiger Weise miteinander verknüpft. Das Produkt der beiden Streuungen ist in diesem Beispiel immer von der Größenordnung der Planckschen Konstanten h. Daher muss bei jedem Versuch, die Ortsstreuung Dy durch Verengen des Spalts zu verringern, die Streuung der Querimpulse Dpy größer werden und umgekehrt. Gl. (8a) stellt die quantitative Formulierung der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation für das spezielle Beispiel des Spalts dar. Sie besitzt jedoch einen viel größeren Gültigkeitsbereich. In ihrer allgemeinen Form regelt sie generell, wie gut Orts- und Impulspräparation gleichzeitig möglich sind. Die untere Schranke für die gleichzeitige Präparation von Ort und Impuls ist Dpy·Dy³h/4p. Dies wird durch das Größer—Zeichen zum Ausdruck gebracht. Der gegenüber Gl. (8a) geänderte Vorfaktor ist durch die bei der Ableitung dieser Gleichung gemachten Abschätzung bestimmt.

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