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Kapitel 2 Herleitung der Schrödinger- Gleichung

Einstieg mit der Wellenfunktion nach der klassischen Wellenlehre

Mit der in Kapitel 1 aus dem Doppeltspaltexperiment hergeleiteten Wellenfunktion Y(x, t) haben wir eines der zentralen Elemente zur mathematischen Erfassung von Quantenobjekten (QO) kennen gelernt. Sie ist eine Funktion des Ortes und der Zeit, die sich wie eine Welle ausbreitet. Es werden die Elektronen durch diese Wellenfunktion beschrieben.

Im folgenden soll nun die Einführung in den formalen mathematischen Apparat der Quantenmechanik (QM) gegeben werden, an der man sieht, wie das „seltsame“ Verhalten der QO mathematisch erfassbar wird. Es wird gezeigt, wie man aus der Wellenfunktion Aufschluss über andere physikalische Größen gewinnt und wie man die Funktion selbst bestimmen kann. Auch hier gilt, dass das Thema wesentlich kürzer hätte gefasst werden können, jedoch wird auch mit diesem Kapitel versucht, das Verständnis für den Zusammenhang zwischen mathematischem Formalismus und physikalischem Experiment zu erleichtern.

Wir beginnen unsere Überlegungen mit dem einfachst möglichen Beispiel, nämlich mit einem Ensemble von Elektronen, die durch ein Präparationsverfahren in einen Zustand mit bestimmter kinetischer Energie Ekin gebracht wurden.

 

Präparation der Eigenschaft „kinetische Energie“ durch eine Beschleunigungsspannung

Abbildung 8

 

Eine Möglichkeit Elektronen in einen Zustand mit bestimmter kinetischer Energie zu bringen bietet die Kathodenstrahlröhre. Wenn sie ohne angelegte Anodenspannung betrieben wird, erscheint ein bläuliches Glimmen. Zwischen Kathode und Anode fließt kein Strom. Nach Anlegen der Beschleunigungsspannung Ub zwischen Kathode und Anode sieht man einen geradlinigen Elektronenstrahl. Es fließt ein elektrischer Strom. Die Elektronen werden durch die angelegte Spannung Ub beschleunigt (Abb. 8). Der erste Teil des Versuchs zeigt, dass die Elektronen ohne die anliegende Beschleunigungsspannung keine nennenswerte kinetische Energie besitzen. Nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsstrecke besitzen die Elektronen die kinetische Energie Ekin=qUb. Innerhalb geringer Fehlergrenzen haben alle Elektronen, die diese Präparationsvorrichtung durchlaufen, dieselbe kinetische Energie. Sie bilden daher ein Ensemble von Elektronen, das auf „kinetische Energie“ präpariert ist. Jedes einzelne Elektron, das zu diesem Ensemble gehört, besitzt die Eigenschaft „kinetische Energie:

(9)

Wie kann man nun diese Elektronen mathematisch beschreiben? Wie sieht die Wellenfunktion Y(x) aus, die ihnen zugeordnet ist?

Wir erinnern uns: Der zentrale Punkt, der es erlaubt, den Welle-Teilchen-Dualismus in der QM zu überwinden, ist, dass die Wellenfunktion Y(x) sich nach den Gesetzen der klassischen Wellenlehre entwickelt! Daher wird zunächst die Struktur einer den Gesetzen der klassischen Wellenlehre unterliegende Wellengleichung hergeleitet.

Bei den aus dem klassischen Bereich der Physik bekannten Wellen (wie z.B. Wasserwellen) handelt es sich um harmonische Wellen in Gestalt fortlaufender Sinus- und Kosinusfunktionen (sin(x, t), cos(x, t), s. Abb. 9).

 

Vergleich Wellengleichung mit Funktionsvorschrift s(0, t) und sin(x, t)

Betrachten wir eine Welle, die sich im Startzeitpunkt t=0 in Ruhelage und am Ort x=0 befindet und dann beginnt mit der Periodendauer T zu schwingen. Trägt man die Auslenkung s in Abhängigkeit von der Zeit t graphisch auf, so erhält man den Funktionsverlauf s(0, t). Hierbei stellt smax die Amplitude dar.

Abbildung 9

 

Wir suchen nun eine Formel, mit der man die Auslenkung s am Ort x zum Zeitpunkt t berechnen kann. Um herauszufinden, durch welche Funktionsvorschrift sich der Kurvenverkauf s(0,t) beschreiben lässt, vergleichen wir ihn mit dem Kurvenverlauf der Funktion f(t)=sin(t) (Sinus-Funktion). Der Vergleich zeigt, dass die Funktion s(0, t) aus der Funktion f(t) durch eine Streckung entlang der s-Achse um den Faktor Smax/1 und durch eine Streckung längs der t-Achse um den Faktor T/2 p hervorgeht. Daher kann man die gesuchte Funktion in der Form schreiben:

(10)

Damit haben wir eine erste Wellenfunktion. Versuchen wir nun diesen Zusammenhang weiter zu verallgemeinern. Dazu betrachten wir die gleiche Welle, die aber nach Startzeitpunkt t=0 um eine Zeitspanne Dt erst später zu schwingen beginnt. Bei unveränderter Ausbreitungsgeschwindigkeit nach rechts (Phasengeschwindigkeit) von c=l/T (l ist die Länge einer Welle) wird während der Zeitspanne Dt die Strecke c·Dt=d zurückgelegt.

 

 

Um das gleiche Ergebnis zu erhalten wie zuvor, muss die Variable t durch t-Dt und x=0 durch x=d ersetzt werden. Es ergibt sich dann

(11)

Mit Dt=d/c und c=l/T kann man für Dt auch Dt=d·T/l einsetzen. Da der Abstand d beliebig gewählt werden kann, wird d durch die Variable x ersetzt. Eingesetzt in (11) erhalten wir die gesuchte allgemeine Wellengleichung mit Bezug auf die Sinusfunktion:

(12)

Die gleiche Vorgehensweise gilt für die Kosinusfunktion. Der Ausdruck 1/T heißt Frequenz der Schwingung und der Ausdruck 2p/T Kreisfrequenz der Schwingung. Es ist naheliegend, die gesuchte Wellenfunktion der Elektronen YEKin versuchsweise ebenso anzusetzen. Mit Bezug auf Sinus- und Kosinusfunktion ergibt sich:

(13)

Dies ist die aus der klassischen Wellenlehre hergeleitete Ausgangsgleichung für unsere Wellenfunktion, die wir nun für unsere quantenmechanischen Betrachtungen verwenden. Dabei sind A und B konstante Faktoren. Der von t abhängige Term gibt die Zeitabhängigkeit der Welle an einem bestimmten Ort wieder. Die Vertauschung von t und x im Argument der Gl. (12) im Vergleich zu Gl. (13) ist kein Problem, das dies durch entsprechende Vorzeichen der Konstanten A, B berücksichtigt wird.

 

Momentaufnahme einer Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt t.

Abbildung 10

Wellenlänge eines Elektrons

Gl. (13) repräsentiert den Funktionsverlauf nach Abb. 10. In diesem Bild wurde das typische Kennzeichen einer Welle, nämlich die Wellenlänge l, eingetragen. Wie ist nun die Wellenlänge l eines Elektrons definiert? Wie ist der Zusammenhang zwischen Wellenlänge l und kinetischer Energie Ekin? Die Beantwortung dieser Fragen ist unerlässlich, denn wir suchen ja gerade eine Wellenfunktion für Elektronen, die mit der Eigenschaft „kinetische Energie“ präpariert sind.

Die Mathematik kann hier zunächst nicht weiterhelfen. Als erstes müssen wir die physikalischen Zusammenhänge zwischen l und Ekin klären. Um diesen Zusammenhang zu finden, müssen wir uns Einblick in die „finstere“ Quantenwelt der Elektronen verschaffen. Hierzu werden wir im folgenden eine Reihe von Experimenten vorstellen und dabei sehen, dass es sich hierbei um Experimente handelt, die für die QM von zentraler Bedeutung sind. Wir beginnen mit dem Experiment, dass Licht Elektronen aus Metalloberflächen herauslösen kann.

Hallwachs-Effekt, UV-Licht löst Elektronen aus Metalloberflächen

Abbildung 11

 

Eine frisch geschmirgelte Zinkplatte wird nach Abb. 11 auf ein Elektroskop gesteckt und durch einen kurzen Kontakt mit dem Minuspol einer Hochspannungsquelle negativ aufgeladen. Danach wird die Platte mit dem Licht aus einer Quecksilberdampflampe bestrahlt, das einen hohen Anteil an ultraviolettem Licht enthält. Wir beobachten, dass die Platte sich rasch entlädt (der Elektroskopausschlag geht auf Null zurück). Dagegen entlädt sich das Elektroskop nicht, wenn man eine Glasplatte in den Strahlengang bringt. Eine mögliche Erklärung für den Ausgang des Versuchs besteht darin, dass Elektronen das Metall verlassen, wenn man es mit Licht bestrahlt. Das Licht scheint Elektronen aus der Zinkplatte „herauszuschlagen“ (Abb. 12).

 

Photoeffekt, Licht löst Elektronen aus Metalloberflächen

Abbildung 12

Allerdings kann nur UV-Licht den Effekt auslösen, wie das Einführen der Glasplatte zeigt.

Nachweis des Photostroms mit einer Photozelle

Abbildung 13

 

In einer evakuierten Röhre befinden sich zwei Elektroden (Abb. 13). Auf die Kathode ist eine metallische Schicht (z B. Kalium) aufgedampft. Die Anode besteht aus einem Metallring und dient als Auffangelektrode für die ausgelösten Elektronen. Man nennt eine solche Röhre eine Photozelle; die Metallschicht auf der Kathode wird auch als Photoschicht bezeichnet. Wird die Photoschicht von außen mit Licht bestrahlt, so zeigt das über einen Messverstärker angeschlossene Amperemeter einen Strom IPh, den Photostrom, an. Im Unterschied zum vorherigen Experiment (Abb. 11) wurde hier ein Metall verwendet, bei dem der Photoeffekt auch mit sichtbarem Licht auftritt. Die ausgelösten Elektronen werden zur Anode hingezogen. In der Photoschicht entsteht durch die fehlenden Elektronen ein Ladungsdefizit. Es wird dadurch ausgeglichen, dass über das Amperemeter Elektronen nachfließen. Die Elektronenverschiebung wird als Photostrom IPh registriert. Die Bestimmung der kinetischen Energie der Elektronen gelingt mit der sogenannten Gegenfeldmethode. Dabei werden die Elektronen auf dem Weg zur Anode durch eine Gegenspannung Ug abgebremst. Der Photostrom wird Null, wenn die Gegenspannung gerade soweit erhöht wird, dass auch die schnellsten Elektronen die Potenzialdifferenz zwischen Kathode und Anode nicht mehr überwinden können. Für die Energie der schnellsten Elektronen gilt dann
EKin,max=eUg. Damit lässt sich die maximale Elektronenenergie über die angelegte Gegenspannung bestimmen.

Gemessene Gegenspannungen für verschiedene Frequenzen

Abbildung 14

Demnach gilt:

(14)

Hierbei bedeutet h die Proportionalitätskonstante zwischen kinetischer Energie und Frequenz (Steigung der Kurve) und WA die Austrittsarbeit (U/V-Wert für f=0), denn um die Metalloberfläche von innen nach außen zu überwinden, muss das Elektron eine für das Metall jeweils charakteristische Arbeit leisten. Aus präzisen Messungen identifiziert sich h als das Plank’sche Wirkungsquantum.

Max Planck, 1858 - 1947

Sie ist eine fundamentale Naturkonstante und kennzeichnende Größe von Quanteneffekten. Es gilt:

(14a)

Nun wird die Kathode der Photozelle mit einer Quecksilberdampflampe beleuchtet. Um monochromatisches Licht (das ist „einfarbiges“ Licht) zu erzeugen, werden Interferenzfilter oder ein Geradschichtprisma benutzt. Man nutzt dabei aus, dass im Licht der Quecksilberdampflampe nicht alle Frequenzen enthalten sind, sondern nur ganz bestimmte (Spektrallinien). Für die verschiedenen Lichtfrequenzen werden die Gegenspannungen Ug bestimmt, bei denen der Photostrom verschwindet und die Messwerte in ein eUg-f-Diagramm übertragen. Man stellt auch hier fest, dass die für verschiedene Frequenzen des auffallenden Lichts gemessenen Werte für die Gegenspannung auf einer Geraden liegen (Abb. 14). Dies stimmt mit Gl. (14) überein.

Um den Photoeffekt zu erklären, benötigt man eine neuartige Modellvorstellung von der Natur des Lichts. In dem neuen Modell strömt Licht nicht als kontinuierliche elektromagnetische Energie von der Lichtquelle weg, sondern in einer Vielzahl von Energieportionen, vergleichbar einem Strom von Teilchen. Diese Energieportionen nennt man Photonen. Der Photoeffekt wird in diesem Modell als „Stoß“ zwischen Photonen und Elektronen gedeutet. Ein Elektron wird aus dem Metall herausgeschlagen, wenn es von einem Photon getroffen wird und dessen gesamte Energie übernimmt. Für diese Teilchentheorie des Lichts spricht auch ein weiterer experimenteller Befund: Die Photonen besitzen einen Impuls p. Das zeigt sich z. B: im Phänomen des Staubschweifs von Kometen. Er ist immer von der Sonne weggerichtet, weil die Photonen des Sonnenlichts einen Impuls auf die Staubteilchen übertragen.

Wie wir mit dem nächsten Experiment (Abb. 15) feststellen werden, gilt im Quantenbereich c= l ·f. Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Daher kann man für Gl. (14a) also für E=hf auch den Ausdruck E=hc/l schreiben und es ergibt sich die Gleichung E/c=h/l=p. In dieser Gleichung taucht mit p ein neuer Begriff auf: der Impuls. Diese Gleichung zeigt, das eine Strahlung, die den Impuls P auf Materie überträgt, mit der Strahlungsenergie E über die Gleichung p=E/c verknüpft ist. Diese Beziehung kann man experimentell bestätigen (Abb. 15). Der Ausdruck p=h/l ist die de-Broglie-Beziehung zwischen Wellenlänge und Impuls.

Louis de Broglie, 1892 - 1987

 

Durch Einsetzen von l=c/f in vg. Gleichung für p erhält man den Ausdruck

(15)

Diese Hypothese wird nun experimentell getestet. Wieder greifen wir auf das Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre zurück (Abb. 5.1). Zunächst stellen wir aber eine theoretische Erwartung für die Wellenlänge l der im Experiment verwendeten Elektronen auf. Im Experiment durchlaufen die Elektronen in der Elektronenbeugungsröhre eine Beschleunigungsspannung UB. Sie werden dabei auf die kinetische Energie Ekin=eUB präpariert. Alle Elektronen, die von der Graphitfolie gebeugt werden, besitzen diesen Wert der kinetischen Energie. Mit Ekin=½mv² (m ist die Elektronenmasse und v deren Geschwindigkeit nach Präparation) und v=p/m ergibt sich der übliche Ausdruck Ekin=p²/(2m) Gl. (15a). Diesen Ausdruck umgestellt nach p und eingesetzt in die de-Broglie-Beziehung l=h/p (Gl.15) ergibt die de-Broglie-Wellenlänge:

(16)

Damit haben wir den gesuchten Zusammenhang zwischen Wellenlänge des Elektrons und kinetischer Energie gefunden. Mit UB=5 KV erhalten wir für die de-Broglie-Wellenlänge den Wert l=1,7·10-11m. Bevor wir diesen theoretischen Zusammenhang bzw. Ergebnis akzeptieren, wird nun das Experiment quantitativ ausgewertet.


 

Geometrie bei der Elektronenbeugung

Abbildung 15

 

Man muss dazu wissen, dass der Graphitkristall zwei Netzebenen mit den Abständen d=0,213 nm und d=0,123 nm besitzt (Abb. 16).

 

Netzebenen im Graphitkristall

Abbildung 16

 

Zudem muss man die „Bragg- Bedingung“ für dieses Experiment kennen. In Analogie zur „Bragg- Reflexion“ von Röntgenstrahlung lautet die Bragg- Bedingung für beide Netzebenen:

(17)

Entsprechend der Versuchsanordnung (Abb. 15) ist der Winkel a klein, so dass gilt 2sina » sin2a » tan2a. Aus der Geometrie der Anordnung (Abb. 15) kann man ablesen:

, (18)

wobei R der Radius der Beugungsringe und L der Abstand des Kristalls vom Schirm ist (im vorliegenden Experiment ist L=0,135 nm. Gleichung (17) wird also zu

(19)

Man misst die Radien R1=0,011 nm und R2=0,019 nm. Für den ersten Ring mit dem Netzabstand d1=0,213 nm ergibt sich somit l=1,7·10-11 m, ebenso für den zweiten Ring mit d2=0,123 nm. In beiden Fällen stimmt das experimentell erschlossene Ergebnis für l mit der theoretischen Erwartung nach de Broglies Hypothese überein!

Nach diesem Diskurs durch drei verschiedene Experimente können wir den theoretischen Zusammenhang der de-Broglie- Wellenlänge in Gl. (16) als bewiesen ansehen. Damit können wir auf dieses Ergebnis zurückgreifen und in der Erarbeitung eines mathematischen Formalismus für die QM fortzufahren. Im folgenden rechnen wir der Einfachheit halber mit (gelesen „h quer“) weiter. Durch Einsetzen von Gl. (16) und „h quer“ in unsere allgemeine Wellenfunktion (13), erhalten wir:

(20)

Dies ist die mit unseren physikalischen Experimenten im Einklang stehende und einem auf kinetische Energie Ekin präparierten Ensemble von Elektronen zugeordnete Wellenfunktion eines freien Elektrons. Sie der Ausgangpunkt unserer weiteren Überlegungen zur Herleitung der nach Erwin Schrödinger benannten Wellengleichung.

Erwin Schrödinger Erwin Schrödinger, 1887 - 1961

 

Nun aber tritt die Mathematik unwiderstehlich in den Vordergrund. Wir werden uns im folgenden Abschnitt mit den zentralen mathematischen Konzepten der QM auseinander setzen. Es wird gezeigt, dass sich hinter dieser Mathematik nichts geheimnisvolles verbirgt.


Operator der kinetischen Energie

Im vorausgegangen Abschnitt wurde untersucht, wie QO mathematisch zu beschreiben sind. Die Vorgehensweise orientierte sich dabei an dem in Experimenten üblichen Verfahren. Um ein Experiment an QO durchführen zu können, muss man sie erst in den gewünschten Zustand bringen, d. h. eine Präparation durchführen. In unserem Fall wurden Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung so präpariert, dass sie die Eigenschaft „kinetische Energie“ besitzen. Diesem experimentellen „Herstellen“ eines bestimmten Zustandes durch Präparation entspricht auf der theoretischen Seite die Angabe einer Wellenfunktion. Dies wird in Abbildung 17 symbolisiert.

 

Präparation und Wellenfunktion

Abbildung 17

 

Mit der Wellenfunktion kann man ein durch Präparation hergestelltes Ensemble von QO charakterisieren. Den Elektronen, die mit einer Beschleunigungsspannung in einen Zustand mit der Eigenschaft „kinetische Energie Ekin“ gebracht wurden, ist zur Beschreibung die Wellenfunktion YEKin (Gl. 20) zugeordnet.

Umgekehrt kann man die folgende experimentelle Situation betrachten: Man hat ein auf kinetische Energie präpariertes Ensemble von Elektronen vorliegen und möchte den Wert der kinetischen Energie erschließen. Im Experiment geschieht dies durch Messung. Die Elektronen treffen auf ein Messgerät, dieses zeigt nach der Messung den Wert der kinetischen Energie an (Abb. 18 (a)).

Gleichermaßen sollte man auch aus der Wellenfunktion YEKin ermitteln können, welchen Wert der kinetischen Energie das zugehörige Ensemble besitzt. Es sollte also möglich sein, wie in Abb. 18 (b) dargestellt, mit Hilfe einer mathematischen Operation aus der Wellenfunktion YEKin den Wert Ekin zu erhalten. Dies leisten in der QM die Operatoren. Diese werden oft als Hamilton-Operator bezeichnet.

Sir William Hamilton, 1805 - 1865

 

Analogie zwischen Messung und Anwendung eines Operators

Abbildung 18

 

Ein Operator ist die Anweisung, eine bestimmte mathematische Operation an der Wellenfunktion y durchzuführen. Dabei kann es sich um einfache Operationen handeln wie die Multiplikation mit einer Konstanten oder einer Funktion oder um eine eher komplizierte Operation wie die Differentiation. Man symbolisiert die Anwendung eines Operators  auf die Wellenfunktion y durch die Schreibweise Ây. Das "Dach“ über dem A soll dabei deutlich machen, dass es sich um einen Operator handelt.

Ist  der Operator „Multiplikation mit der Konstanten c“, so bedeutet Ây die Anweisnung „multipliziere y mit der Konstanten c“:

Ây steht für c ·y (21)

 

Veranschaulichung der Wirkung eines Operators am Beispiel Differentitation

Abbildung 19

Wenn der Operator „Differentiation nach x“ ist, heißt y „differenziere die Wellenfunktion y nach x:

*y(x) steht für (22)

Mit diesem Konzept des Operators ist es möglich, die Eingangs gestellte Frage zu bearbeiten: Wie kann man aus der Wellenfunktion für auf kinetische Energie präparierte Elektronen (Gl. 20) den Wert der kinetischen Energie gewinnen? Gesucht ist ein Operator Êkin, der nach Anwendung auf die Wellenfunktion yEkin den Wert Ekin liefert. Wie könnte dies konkret aussehen?

Zunächst halten wir fest, dass die Anwendung eines Operators auf die Wellenfunktion wieder eine Wellenfunktion ergibt. Zum Beispiel ergibt die Anwendung des Operators y(x) = auf die Funktion y(x)=Asin(x) eine neue Wellenfunktion Acos(x). Dies ist in Abb. 19 symbolisiert.

Was könnte die Wellenfunktion sein, die sich durch Anwenden des Operators Êkin auf YEKin ergibt? Die Wellenfunktion YEKin repräsentiert ein Ensemble von Elektronen, das die Eigenschaft „kinetische Energie“ besitzt. Die plausibelste Annahme ist, dass der Operator Êkin diese Wellenfunktion weitgehend unverändert lässt. Dieser mathematische Ansatz steht in Analogie zu folgendem Prismenversuch mit Licht.

 

Prismenversuch mit Test auf Präparation einer Eigenschaft

Abbildung 20

 

Leiten Sie in einem abgedunkelten Raum ein dünnes Lichtbündel weißen Lichts (Abb. 20) auf ein Prisma. Auf dem Schirm sehen Sie das aus der elementaren Optik bekannte farbige Regenbogenspektrum. Sie können nun Licht einer bestimmten Farbe herstellen (monochromatisches Licht), indem Sie hinter das Prisma eine Spaltblende stellen, die nur das Licht aus einem eng begrenzten Farbbereich (z. B. grün) durchlässt. Man kann vermuten, dass Licht einer bestimmten Farbe eine Eigenschaft besitzt, die dazu führt, dass es im Prisma um einen ganz bestimmten Winkel a abgelenkt wird. Diese Vermutung kann man folgendermaßen testen:

Lenken Sie das vorher erzeugte grüne Lichtbündel durch ein zweites Prisma auf den Schirm (Abb. 20). Sie werden sehen, dass es im zweiten Prisma nicht mehr aufgefächert wird. Wie vermutet wird es um den gleichen Winkel a wie im ersten Prisma abgelenkt. (Natürlich hängt der Winkel, um den der Strahl angelenkt wird, vom Einfallswinkel auf das Prisma ab. Nur wenn dieser bei beiden Prismen der gleiche ist, wird der Strahl in beiden Prismen um den gleichen Winkel abgelenkt.) Das im Experiment erzeugte Licht einer bestimmten Spektralfarbe besitzt also tatsächlich die Eigenschaft „wird um einen bestimmten Winkel a abgelenkt“. Dagegen besitzt das weiße Licht der Lampe diese Eigenschaft nicht; es wird aufgefächert.

In Analogie zu diesem Versuch, bei dem mit Prisma und Blende Licht auf die Eigenschaft „Wellenlänge“ präpariert wurde, das im zweiten Prisma nicht weiter aufgefächert werden konnte, sondern unverändert blieb, so bleibt auch die Wellengleichung weitgehend unverändert! Wenn wir nun fordern, dass die Wellenfunktion (Gl. 20) nur bis auf konstante Faktoren festgelegt ist, ist dies dann der Fall, wenn ÊkinyEkin sich von yEkin höchstens um einen konstanten Vorfaktor unterscheidet, also proportional (d. h. linear) zu yEkin ist. Wir stellen also an den Operator der kinetischen Energie zwei Forderungen (Abb. 21):

Wirkung des Operators Êkin auf die Wellenfunktion yEkin

 

 

Abbildung 21

 

· Die Anwendung des Operators Êkin auf die Wellenfunktion yEkin soll diese bis auf konstante Faktoren reproduzieren.

· Es soll dabei die Information über den Wert der kinetischen Energie geliefert werden.

Unsere Wellenfunktion yEkin (Gl. 20) enthält die Sinus- und Kosinusfunktionen. Eine mathematische Operation, welche diese Funktionen reproduziert, ist die Ableitung. Differentiation von sin(x) führt zum Kosinus, nochmalige Ableitung wieder zurück zu ?sin(x). So ergibt sich aus Gl. 20 für den einfachsten Fall mit A=1, z.B. für den ersten Term nach einmaliger Ableitung:

(23)

Nochmalige Ableitung liefert:

(24)

Für den Kosinus-Term in (20) gilt eine entsprechende Gleichung, so dass die Wellenfunktion nach zweimaliger Differentiation in der Tat bis auf einen Faktor reproduziert wird:

(25)

Damit ist die erste der beiden Forderungen erfüllt. Multiplizieren wir beide Seiten der Gl. (25) mit , ergibt sich:

(26)

Der Operator, der auf der linken Seite dieser Gleichung steht und auf die Wellenfunktion wirkt, erfüllt tatsächlich beide Forderungen, die wir an den Operator der kinetischen Energie gestellt haben. Er reproduziert nicht nur die Wellenfunktion yEkin, sondern gibt auch den Wert der kinetischen Energie an: Ekin ist gerade der Proportionalitätsfaktor auf der rechten Seite.

Die Kurzschreibweise für Gl. (26) lautet:

(27)

In der letzten Gleichung ist zu beachten, dass Êkin auf der linken Seite ein Operator ist (d. h. eine Anweisung, eine mathematische Operation an einer Wellenfunktion durchzuführen), Ekin auf der rechten Seite dagegen eine Zahl, die den Wert der kinetischen Energie angibt, den wir bei Messungen an den Elektronen dieses Ensembles finden. Diese letzte Gleichung ist schon die Schrödinger’sche Wellengleichung, hier noch ohne den Term für die potenzielle Energie V(x), d. h. mit V(x)=0. Mit dem Operator Êkin der kinetischen Energie haben wir ein systematisches Verfahren gefunden, den Wert der kinetischen Energie Ekin aus einer Wellenfunktion yEkin zu ermitteln.

Wenn das die einzige Aufgabe wäre, zu der man den Operator Êkin benutzen könnte, wäre der Aufwand im Verhältnis zum Nutzen recht hoch. Aber Operatoren haben in der QM noch andere Aufgaben. Sie erlauben es, auf die Frage zurückzukommen, ob und wann man QO eine bestimmte dynamische Eigenschaft zuschreiben kann. Diese Frage hat sich z. B. bei den Doppelspaltexperimenten als eines der zentralen Elemente erwiesen, das die QM von der klassischen Physik unterscheidet. Mit der Benutzung von Operatoren, die auf Wellenfunktionen angewendet werden können, lässt sich dieses Problem nun auch auf der theoretischen Ebene angehen.

 


Eigenwertgleichung

Im letzten Abschnitt wurde der Operator der kinetischen Energie nur auf Wellenfunktonen angewendet, welche die Eigenschaft „kinetische Energie“ wirklich besitzen (also auf kinetische Energie präpariert wurden). Es gibt aber auch QO, die diese Eigenschaft nicht besitzen. Was passiert, wenn man Êkin auf eine Wellenfunktion y(x) anwendet, die solche QO beschreibt?

Betrachten wir die Gauß’sche Wellenfunktion:

, (29)

die ein Ensemble von QO beschreibt, das die Eigenschaft kinetische Energie nicht besitzt. Sie hat die Form einer Glockenkurve. yGauß(x) beschreibt eine um den Ort x0 zentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Breite s. Wendet man Êkin auf diese Wellenfunktion an, ergibt sich:

(29a)

Dies kann nicht in der Form ÊkinyGauß(x)=Konstante·y(x) geschrieben werden.

In den beiden bisher betrachteten Beispielen hat sich gezeigt: Eine Wellenfunktion, die QO mit der Eigenschaft „kinetische Energie“ entspricht, wird bei Anwendung des Operators Êkin reproduziert. Für eine Wellenfunktion, die QO ohne diese Eigenschaft beschreibt, ist das nicht der Fall. Dies gilt nicht nur für diese beiden speziellen Beispiele, sondern ist eine allgemeine Tatsache:

Wenn Êkin auf eine Wellenfunktion y(x) angewandt wird und das Ergebnis nicht proportional zu y(x) ist, besitzen die durch y(x) beschriebenen QO die Eigenschaft „kinetische Energie“ nicht. Misst man an einem Ensemble solcher QO die kinetische Energie, erhält man keinen einheitlichen Messwert, sondern die Messwerte streuen.

Wird dagegen Êkiny(x) proportional zu y(x), besitzen die QO die Eigenschaft „kinetische Energie“. Man sagt in diesem Fall, dass die Eigenwertgleichung Êkiny(x)=Ekin·y(x) erfüllt ist. Die Zahl Ekin, die den Wert der kinetischen Energie angibt, nennt man Eigenwert der kinetischen Energie. Bei einer Messung der kinetischen Energie wird dieser Wert in jedem Fall gefunden. Die Messwerte streuen innerhalb des durch y(x) beschriebenen Ensembles nicht.

Natürlich gilt dies nicht nur für die Eigenschaft „kinetische Energie“, sondern auch für alle anderen dynamischen Eigenschaften (z. B. Impuls). Zu jeder dynamischen Eigenschaft A gehört ein Operator Â. Man kann entscheiden, ob QO, die durch die Wellenfunktion y beschrieben werden, die Eigenschaft A besitzen, indem man die zugehörige Eigenwertgleichung Ây =a0·y betrachtet.

 

Operator der Gesamtenergie

Mit der Eigenwertgleichung haben wir eine systematische Methode gefunden, um herauszufinden, ob QO eine bestimmte dynamische Eigenschaft besitzen oder nicht. Bisher konnten wir sie nur für einen Operator –den der kinetischen Energie? anwenden. Eine dynamische Eigenschaft, die in der QM eine besonders große Rolle spielt, ist die Gesamtenergie. In der klassischen Physik ist die Gesamtenergie Eges die Summe aus kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie V.

Nun begegnet uns wieder die Frage nach der Gestalt des Operators. Ist diese gefunden und erweist sich als verträglich mit unseren Grundsätzen, dann ist der entscheidende Schritt zur Lösung des physikalischen Problems getan. Wie sieht nun der quantenmechanische Operator für die Gesamtenergie aus?

 

Auf kinetische Energie präparierte Elektronen durchlaufen nochmals eine Beschleunigungsspannung

 

Abbildung 22

 

Wir betrachten Elektronen, die auf feste kinetische Energie präpariert worden sind, indem sie z. B. eine Beschleunigungsspannung durchlaufen haben. In der Region I in Abb. 22 besitzen sie diese Eigenschaft. Der Elektronenstrahl durchläuft nun eine weitere Beschleunigungsspannung U (Region II in Abb. 22), so dass die Elektronen anschließend in Region III eine andere kinetische Energie besitzen.

 


 

Potenzialverlauf in den Regionen I – III

 

Abbildung 23

 

In den Regionen I und III hat das Potenzial einen konstanten Wert, denn es wirkt keine Beschleunigungsspannung. Insgesamt gilt:

Region I: Das Potenzial hat den konstanten Wert V(x)=0. Die Elektronen besitzen die Eigenschaft „kinetische Energie“. Ihr Wert ist .

Region II: Die Elektronen werden durch die angelegte Spannung beschleunigt. Über ihre Eigenschaften lässt sich keine Aussage machen.

Region III: Das Potenzial hat den konstanten Wert V(x)=V0 mit V0>0. Da die Beschleunigung durch eine Spannung ein Verfahren zur Präparation der Eigenschaft „kinetische Energie“ darstellt, besitzen die auslaufenden Elektronen in Region III diese Eigenschaft. Ihr Wert ist .

Mit Hilfe dieser Beziehungen können wir uns die Wellenfunktion von QO in einem konstanten Potenzial (also in Region III) erschließen. Wir nutzen dazu aus, dass die Elektronen sowohl in Region I als auch in Region III die Eigenschaft „kinetische Energie“ besitzen. Die Wellenfunktion für Elektronen mit dieser Eigenschaft ist aber nach Gl. 20 bekannt. In Region III gilt demnach:

(30)

(der Einfachheit halber betrachten wir nur den ersten Term von Gl. (20); für den zweiten Term verläuft die Rechnung analog). Nun können wir die kinetische Energie in dieser Gleichung durch die Gesamtenergie ausdrücken, denn wie in der klassischen Physik gilt nach dem Energieerhaltungssatz . Für die kinetische Energie in Region III gilt also:

(31)

Wir können dies in die Wellenfunktion Gl. (30) einsetzen und erhalten als Ergebnis für die Wellenfunktion für ein Ensemble von Elektronen mit konstantem Potenzial V0:

(32)

Mit diesem Resultat können wir zur nächsten Frage kommen: Was ist der Operator der Gesamtenergie? Gesucht ist ein Operator, der bei Anwendung auf die Wellenfunktion Gl. (32) den Wert der Gesamtenergie liefert. Um den Operator für die kinetische Energie zu finden, haben wir die Wellenfunktion zweimal differenziert. Versuchen wir mit yIII das gleiche, ergibt sich:

(33)

Multiplikation mit liefert:

(33a)

Bringt man noch den Term V0·yIII auf die linke Seite, hat die Gleichung die gewünschte Form. Da für V0 beliebige Werte eingesetzt werden können, setzen wir V0=V(x) und erhalten nunmehr die gesuchte Schrödinger- Gleichung.

 

(34)

 

Diese Eigenwertgleichung für die Gesamtenergie ist eine der wichtigsten Gleichungen in der QM. Sie heißt Schrödinger-Gleichung. Sie hat in der QM eine Bedeutung, die mit der Newton’schen Gleichung in der klassischen Mechanik vergleichbar ist. Der Operator für die Gesamtenergie ist:

 

(35)

 

Er setzt sich aus dem Operator der kinetischen Energie und dem Operator der potenziellen Energie zusammen: Êgeskinpot. Dabei entspricht der Operator Êpot einfach der Multiplikation der Wellenfunktion y(x) mit V(x).

Damit haben wir die gestellte Aufgabe, nämlich Einstieg in die QM mit Herleitung der Schrödinger- Gleichung, erfüllt. Bzgl. des Umgangs mit dieser Gleichung bzw. deren Anwendung auf Fallbeispiele wird auf die Literatur bzw. Teil II „Anwendung der Schrödinger- Gleichung“ verwiesen.