Teil 2 Einfache Anwendungen der QMVorwortEinleitung1. Verallgemeinerung der Wellengleichung2. Der Operator für den Impuls3. Der Orts - Operator4. Das Teilchen im Kasten5. Bewegung in zwei Dimensionen6. Die harmonische Schwingung7. Umlauf in zwei Dimensionen8. Mathematische Werkzeuge9. Umlauf in drei Dimensionen10. KugelflächenfunktionenZum Schluss Über die Ursache der SchwerkraftWas ist LadungDas Wasserstoffmolekül – IonDie KernkraftElementare StrukturenTeil 1 Einstieg in die Quantenmechanik (QM)Teil 2 Einfache Anwendungen der QMTeil 3 Weiterführende QMDas energieerhaltende GravitationsgesetzTheoretische Untersuchung der Rydbergkonstante des WasserstoffatomsÜber die innere Struktur der ElektronmasseÜber die innere Struktur des NeutronsÜber den Zusammenhalt der Nukleonen im AtomkernElementar-Physikalische Aufsätze |
1. Verallgemeinerung der WellengleichungIn Teil I, (s. Gl. (26)) erhielten wir für ein Teilchen der Masse m, das sich ohne potenzielle Energie (es gilt überall V=0, die Energie des Teilchens ist unabhängig von seiner Position) entlang der x-Achse bewegt, die Schrödinger-Gleichung:
Ausgangspunkt für diese Gleichung war die aus der klassischen Wellenlehre hergeleitete Wellengleichung yEkin (s. Teil I, Gl. (13)), die wir hier nochmals aufschreiben, um sie weiter zu untersuchen bzw. weiter zu abstrahieren. Zur Ermittlung der vg. Schrödinger-Gleichung wurde der zeitabhängige Teil nicht betrachtet (t=0), um den Einstieg in die QM möglichst verständlich zu lassen. Die zeitabhängige Erweiterung ist erst nach Schaffung der grundlegenden quantenmechanischen Konzepte sinnvoll. Mit t=0 vereinfacht sich Gl. (2) zu In Teil I hat sich herausgestellt, dass dieser Ausdruck mit den dort aufgeführten physikalischen Experimenten im Einklang steht und einem auf kinetische Energie Ekin präparierten Ensemble von Elektronen zugeordneten Wellenfunktion eines freien Elektrons entspricht. Wir setzen nun
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass
Aufgrund dieser Modifikationen können wir nicht mehr sicher sein, ob dieser Ausdruck immer noch die Wellenfunktion eines freien Elektrons ist. Daher wollen wir dieses zunächst überprüfen. Nach Gl. (1) ist die 2.Ableitung der Wellenfunktion zu bilden und gleich dem Produkt aus dem Zahlenwert der kinetischen Energie und der Wellenfunktion zu setzen. Hierzu rechnen wir sowohl mit der Sinus-, Kosinus-Funktion als auch mit der Exponentialfunktion. Die erste Ableitung nach x ergibt sich zu: Die zweite Ableitung nach x lautet:
Da das Minuszeichen „–1“ bedeutet und dies gleich i2 ist, wird der Ausdruck „i2k2eikx„ ebenfalls zu –k2y, was zeigt, dass die Euler’sche Formel (Gl. (4)) tatsächlich zutrifft. Das elegante an dieser Exponentialfunktion ist aber, dass sie sich nach jeder Differentiation wieder, bis auf konstante Vorfaktoren, reproduziert. Nun setzen wir diesen Ausdruck in Gl. (1) ein und erhalten Da y(x) sich herauskürzt und die beiden Minuszeichen sich aufheben, ergibt sich der Ausdruck Dieser Ausdruck ist uns in Teil I (s. Gl. (15)) bereits begegnet, womit die Richtigkeit des mathematischen Ansatzes der Gl. (4) bewiesen ist. Daher wollen wir mit der rechten Seite der Wellengleichung Gl. (4) weiterrechnen (eikx) und diese wie folgt verallgemeinern: Wieder prüfen wir, ob die Funktion noch für ein freies Elektron gilt. Die erste Ableitung nach x ergibt: Für die zweite Ableitung nach x ergibt sich ng. Gl. (11):
Wie wir sehen, ergab sich dieser Ausdruck bereits mit Gl. (6), womit auch die Form der Gl. (9) der Wellenfunktion eines freien Elektrons zugeordnet werden kann. Die Einführung des Faktors „i2=-1“ hat sich somit als „unschädlich“ erwiesen aber die damit verbundene Einführung der Exponentialfunktion (e) wird sich noch als eine sehr nützliche Beziehung herausstellen. |
© 2025 physik-theologie.de - all rights reserved
|