2. Der Operator für den Impuls

Um aus einer Wellenfunktion y Informationen über den Wert einer bestimmten Observablen (ist die übliche Bezeichnung für die messbare Konstante, mit dem die Wellenfunktion y zu multiplizieren ist) zu erhalten, müssen wir zunächst die Form des Operators kennen, der dieser Observablen entspricht (d. h. die auf ein Ensemble von QO mit der untersuchten Eigenschaft, hier Impuls p repräsentiert durch den Impulsoperator , präpariert ist). Die Schrödinger-Gleichung lautet in Kurzform

(12)

Wie versuchen es auch hier mit der Wellengleichung

(13)

Diese Gleichung ergibt sich aus Gl. (9), wobei B=0 gesetzt wurde. Die erste Ableitung ergibt sich zu . Wir versuchen für den Impulsoperator den Ausdruck

(14)

Dies bedeutet, dass die erste Ableitung der Wellenfunktion mit dem Faktor „h quer dividiert durch i“ zu multiplizieren ist. Durch Einsetzen der beiden Ausdrücke in Gl. (12) ergibt sich bzw. . Diesen Ausdruck haben wir schon in Gl. (8) kennen gelernt. Somit haben wir, analog zu unseren bisherigen Rechenverfahren für den Operator der kinetischen Energie und der Gesamtenergie, nun auch den Operator für den Impuls und die dem Impuls zugeordnete Wellengleichung hergeleitet, denn die Wellenfunktion ist eine Eigenfunktion des Operators, womit der berechnete Eigenwert gleich dem Wert des Operators ist. Hätten wir die Wellengleichung (vg. Gl. (9) mit A=0) untersucht, so hätten wir auf dem gleichen Weg den Ausdruck gefunden. Diese Wellenfunktion beschreibt offenbar ein Teilchen mit dem gleichen Betrag des Impulses (und der gleichen kinetischen Energie) wie zuvor, das sich jetzt jedoch in die negative x-Richtung bewegt.

Bisher haben wir die Wellenfunktion Gl. (9) für den Fall A=0 bzw. B=0 untersucht. In beiden Fällen konnten wir zeigen, dass es sich um eine Eigenfunktion des Impulsoperators handelt.

Wir wollen nun die Wellenfunktion Gl. (9) für den Fall A=B untersuchen. Die Untersuchung dieses Falles wird uns über den Begriff der Überlagerung (Superposition) zweier (jeweils einzeln bereits als gültig bewiesener) Wellenfunktionen zu den Begriffen normierte Wellenfunktion und Erwartungswert des Operators führen sowie zu dem damit verbundenen mathematischen Lösungsverfahren. Die Wellenfunktion für den Fall A=B lautet:

(15)

Wenn wir jedoch auf diese Funktion den vg. Impulsoperator wirken lassen, erhalten wir über die Schrödinger-Gleichung den Ausdruck

.

Die Funktion ist jedoch verschieden von der Funktion . Da ist, zeigt sich dieser Unterschied durch das negative Vorzeichen in der runden Klammer deutlich. Es handelt sich also bei der Wellenfunktion Gl. (15) nicht um eine Eigenfunktion des Impulsoperators. Dies bedeutet, dass die Größe, zu der dieser Operator gehört, keinen definierten Wert hat. Dennoch ist in diesem Fall A=B der Impuls nicht völlig unbestimmt, da die Cosinus-Wellenfunktion (s. Gl. (15)) eine lineare Superposition (Überlagerung) der einzelnen Funktionen e^ikx und e^-ikx ist, die, wie wir gesehen haben, jeweils für sich einem Zustand mit definiertem Impuls (p) entsprechen. Für normierte Wellenfunktionen gilt . Für solche Funktionen ist der Erwartungswert eines Operators definiert als

(16)

Diese Schreibweise bedeutet: Integriere das Produkt aus Wellenfunktion und Operator der Wellenfunktion. Das Ergebnis ergibt den Erwartungswert des Operators. Diese Aussage lässt sich leicht beweisen: Wenn nämlich y eine normierte Wellenfunktion des Operators zum Eigenwert w ist, also gilt, so ist der Erwartungswert des Operators , wie ng. Rechnung zeigt:

Da w den mit der Versuchsanordnung ermittelten Messwert der untersuchten physikalischen Größe darstellt, der in der Mathematik als Eigenwert des Operators bezeichnet wird, kann w als Konstante vor das Intergral gezogen werden. Da das verbleibende Integral für eine normierte Wellenfunktion aber per Definition gerade 1 ist, ergibt sich der Ausdruck . Da wir für jede Messung den Wert w erhalten, wir haben ja vorausgesetzt, dass die Wellenfunktion eine Eigenfunktion des Operators sein soll, muss auch der Mittelwert vieler Messungen w sein.

Wir prüfen nun nach, ob diese mathematische Methode zur Berechnung des Erwartungswertes des Operators einer Wellenfunktion y auch für den uns bereits aus Teil I, Gl. (26) bekannten Operators der kinetischen Energie gilt. Die Wellenfunktion für die kinetische Energie lautet gemäß Teil I, Gl.(20), für den einfachsten Fall bei t=0 und mit A=1: . Hieraus ergibt sich über die 2. Ableitung der Ausdruck . Analog zu Gl. (16) verwenden wir für die kinetische Energie den Ausdruck . Hieraus ergibt sich die Gleichung bzw. . Damit wird in der Tat , da das Integral für die normierte Wellenfunktion ja gleich 1 ist.

Doch nun wieder zurück zur linearen Superposition. Wenn also die Funktion y keine Eigenfunktion des betrachteten Operators ist, so können wir sie trotzdem als lineare Superposition ihrer anteiligen Eigenfunktionen schreiben. Hierzu nehmen wir der Einfachheit halber an, y sei die Summe zweier Eigenfunktionen gemäß . Es ergibt sich dann der Ausdruck .

Hieraus folgt . Durch Ausmultiplizieren erhalten wir . Hierbei haben wir den sich ebenfalls ergebenden Ausdruck zu null gesetzt. Da die einzelnen Wellenfunktionen normiert sind, ist für beide das jeweilige Integral über ihr Quadrat 1und es ergibt sich die Formel:

(16a)

Mit dem Weglassen des Ausdrucks wurde unterstellt, dass das Integral über ein Produkt zweier Eigenfunktionen eines Operators verschwindet (d. h. null wird) also ist. Auf diese letzte Aussage wird später noch genau eingegangen (s. Vorspann zu Gl. (40)). Dort wird ausgeführt, dass ein allgemeines Prinzip besagt, dass Wellenfunktionen eines Systems, die zu unterschiedlichen Energien gehören, orthogonal sind. Zwei Funktionen heißen orthogonal, wenn das Integral über ihr Produkt verschwindet. Gl. (16a) besagt, dass der Erwartungswert des Operators das Mittel der beiden beitragenden Eigenwerte (w₁, w₂) ist, jeweils gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit (c₁, c₂), mit der ein bestimmter Wert bei sehr vielen Messungen auftreten wird. Der Erwartungswert ist also nichts weiter, als der Mittelwert über zahlreiche Messungen!