3. Der Orts - Operator

In diesem Kapitel wird gezeigt, dass der Operator für den Ort in x-Richtung einfach die Multiplikation der Wellenfunktion y(x) mit der x-Koordinate ist. Demnach können wir schreiben bzw. (17)

Im Teil I (s. Gl. (8b)) hatten wir festgestellt, dass es eine untere Schranke für die Genauigkeit der gleichzeitigen Präparation von Ort (x) und Impuls (p) gibt. Der Ausdruck hierfür lautete Dp·Dx=h/4p. Versuchen wir nun, zu ermitteln, ob diese experimentell festgestellte Erkenntnis von unseren bisherigen mathematischen Ausdrücken für die Operatoren „Impuls“ und „Ort“ geleistet wird. Hierzu untersuchen wir den Wert des Kommutators dieser beiden Operatoren. Dieser Kommutator- Ausdruck wird üblicherweise in eckigen Klammer geschrieben als und bedeutet nicht anderes, als den Ausdruck zu bestimmen. Hier erwartet man natürlich, dass a mal b minus b mal a gleich Null ist. Aber führen wir nun die Berechnung explizit durch. Es ist mit p gemäß Gl. (14):

(18)

Man beachte, dass bei dieser Multiplikation von Operatoren (Rechengang wird in Gl. (91a) erläutert) verlangt wird, vom x-fachen der mit h-quer durch i multiplizierten ersten Ableitung nach x der Wellenfunktion den sich durch Multiplizieren von h-quer durch i mit der ersten Ableitung nach x der x-fachen Wellenfunktion sich ergebenden Ausdruck zu subtrahieren. Der zweite Term in der Klammer auf der rechten Seite ist also die Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen! Wir erinnern uns an die Produkt-Rechenregel: . Mit und (es funktioniert natürlich auch umgekehrt) erhalten wir die Ausdrücke und . Einsetzen in Gl. (18) ergibt

(19)

Die Auflösung dieser Gleichung führt zu

(20)

Da Gl. (20) verschieden von Null ist, bezeichnet man die beiden Observablen Ort (x) und Impuls (p) als komplementär. Dieser Ausdruck steht für die Heisenberg’sche Unschärferelation von Ort und Impuls und ist der grundlegende Unterschied zwischen klassischer Mechanik und QM.

Damit haben wir die Richtigkeit unseres vg. Ansatzes für den Orts-Operator gezeigt und zugleich eine wichtige Rechenregel Im Umgang mit Operatoren (hier: eine Kommutator- Berechnung) durchgeführt.

Es ist schon erstaunlich, dass diese einfachen mathematischen Ansätze bereits eine solche Übereinstimmung mit den Beobachtungen in sich tragen, eben hier in Gestalt der Heisenberg’schen Unschärferelation.