4. Das Teilchen im Kasten

Mit dem Aufstellen der Schrödinger-Gleichung sind wir der realistischen Beschreibung von Quantenobjekten (QO) ein großes Stück nähergekommen. Unser Interesse richtet sich hauptsächlich auf das Verständnis der Elektronen in Atomen. Diese Elektronen werden durch elektrische Anziehungskräfte (beschrieben durch das Potential des Kerns) in der Umgebung des Atomkerns festgehalten. QO, die durch ein Potential auf einen bestimmten Raumbereich eingeschränkt sind, nennt man gebunden. Wir wollen hier ein einfaches Modell für gebundene Elektronen betrachten. Als Prototyp für gebundene Systeme, an dem alle wesentlichen Züge der QM klar hervortreten, betrachten wir Elektronen, die in einem Potentialtopf gebunden sind. Damit bezeichnet man den in Abb. 1 gezeigten Potentialverlauf.

 

Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden

 

Abbildung 1

Ein Elektron ist bei diesem Rechenmodell in einen Raumbereich der Breite a eingesperrt, aus dem es nicht entkommen kann: Die „Wände“ des Potentialtopfs bilden eine undurchdringliche Barriere, da das Potential dort gegen Unendlich geht. Im Innern des Potentialtopfs (d. h. für 0 £ x £ a) sollen dagegen auf die Elektronen keine Kräfte einwirken. Das Potential besitzt hier einen konstanten Wert V₀. Nachdem wir den Potenzialverlauf in der betrachteten physikalischen Modell-Situation so festgelegt haben, können wir nun unsere ersten Erfahrungen beim Lösen der Schrödinger-Gleichung sammeln. Mit V(x)=V₀ erhalten wir aus Teil I, Gl. (34) die für das Innere des Potenzialtopfs geltende Gleichung:

(21)

oder nach Umformung:

(22)

Bei E_ges und V₀ handelt es sich um Konstanten. Gesucht ist also eine Funktion y(x), die nach zweimaligem Ableiten bis auf Proportionalitätsfaktoren wieder in sich selbst übergeht. Mit Sinus und Cosinus kennen wir zwei solcher Funktionen. Wir versuchen es also mit dem Ansatz

(23)

mit zwei noch offenen Konstanten A und B. Erstes Ableiten dieser Funktion ergibt und das zweite Ableiten ergibt

(24)

Das Einsetzen von Gl. (24) in Gl. (22) führt auf die folgende Bestimmungsgleichung für B:

(25)

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn gilt:

(26)

Das Ergebnis dieser Rechnung ist also die Funktion

(27)

Eine analoge Rechnung mit der Cosinus-Funktion zeigt, dass diese ebenfalls eine Lösung ist:

(27a)

Diese Differenzialgleichungen gelten nur für das Innere des Potenzialtopfs. Damit y(x) wirklich eine Lösung der Schrödinger-Gleichung darstellt, müssen die Potenzialwände bei x=0 und x=a berücksichtigt werden. Sie garantieren, dass ein Elektron nicht in den Außenraum eindringen kann.

Nun kommen wir dazu, den Begriff der Wahrscheinlichkeit (s. Teil I, Gl. (3) und Gl. (7)), wo das Elektron zu finden ist, mathematisch einzubringen. Die Wahrscheinlichkeit, ausgedrückt durch Quadrieren der Wellenfunktion an vg. Stellen an den Potenzialwänden ein Elektron zu finden, ist Null. Es ist also

sowie (28)

Diese Randbedingungen sind die gleichen wie bei einer bei x=0 und x=a eingespannten Saite eines Musikinstruments. Im Falle der Saiten bilden sich durch Zupfen stehende Wellen aus, die wegen der Reibung abklingen. Dazwischen sind nur bestimmte Wellenlängen zulässig bzw. zu beobachten, denn nur sie „passen“ in das Intervall der Länge a. Analog zu den Saiten des Musikinstruments verhält sich auch die Wellenfunktion . Diese mathematischen Randbedingungen stellen hier die erforderliche zusätzliche Forderung dar, dass nur die beobachteten bestimmten Energiewerte der Elektronen im Potenzialtopf zulässig sind. Zu Recht prüfen wir nun nach, wie diese Randbedingungen zu erfüllen sind. Die Bedingung wird von der Sinus-Funktion automatisch erfüllt, während sie für die Kosinus-Funktion unerfüllbar ist. Letztere scheidet also für die Lösung der Schrödinger-Gleichung aus. Damit aber die zweite Bedingung erfüllt ist, muss das Argument der Sinus-Funktion ein ganzzahliges Vielfaches (n-faches) von p sein! Es muss also gelten:

(n=1, 2, 3, ...) (29)

oder aufgelöst nach E_ges und mit erhalten wir

(n=1, 2, 3, ...) (30)

 

Wellenfunktion (oben) und Wahrscheinlichkeitsdichten (unten)

Abbildung 2

Die Energie der Elektronen im Potenzialtopf kann nur die durch diese Gleichung zugelassenen Werte annehmen. Dies ist ein ganz zentrales Ergebnis der QM. Es besitzt allgemeine Gültigkeit: Gebundene Elektronen können nur bestimmte Werte der Energie annehmen. Die Energie ist quantisiert. Im Falle des Potenzialtopfs werden die möglichen Energiewerte durch die ganze Zahl n beschrieben, die man als Quantenzahl bezeichnet. Es ist gerade der untere Teil der Abbildung 2, der die Analogie mit den stehenden Wellen bei der eingespannten Saite des Musikinstruments offensichtlich zeigt.

Als letztes muss die bisher noch unbestimmte Konstante A in der Wellenfunktion Gl. (27) festgelegt werden. Berücksichtigt man die Wahrscheinlichkeitsinterpretation von , muss man die Forderung stellen, dass man bei einer Messung das Elektron mit Sicherheit irgendwo im Potenzialtopf finden muss. Es muss sich daher die Wahrscheinlichkeit eins ergeben. Somit gilt die Normierungsvorschrift:

(31)

Um dieses Integral der quadrierten Wellenfunktion nach Gl. (25) zu berechnen, vereinfachen wir zuerst das Argument der Funktion für den weiteren Rechengang. Dies ist möglich, da wegen Gl. (29) das Argument der Wellenfunktion Gl. (25) gleich ist. Es lautet also die vereinfachte Wellenfunktion

(32)

Somit haben wir zu berechnen

(33)

Gemäß Teubner-Tabellenbuch der Mathematik, Leipzig 1996, lautet die Lösung dieses Intergrals (s. Seite 171). Es ergibt sich also:

(34)

Nach Einsetzen der Integralgrenzen werden alle Terme bis auf einen Null und wir erhalten als Ergebnis und somit für die Konstante A den Ausdruck . Mit diesem Wert für A können wir nun die vollständige Wellenfunktion noch einmal zusammenfassend hinschreiben:

.........................(n=1, 2, 3, ...) (35)

Diese Formel und die daraus resultierenden Abbildungen (s. Abb. 2) führen uns die Ursache der Quantisierung sehr anschaulich vor Augen: Jede Wellenfunktion ist eine stehende Welle; aufeinanderfolgende Funktionen müssen daher immer gerade eine halbe Periode mehr in dem Kasten unterbringen. Daher wird die Wellenlänge kleiner und die mittlere Krümmung größer. Dies führt zu einer größeren kinetischen Energie des Teilchens.

In Abbildung 2 können wir auch die Eigenschaften der Lösungen sehen. Bei jeder weiteren Wellenfunktion findet jeweils eine halbe Wellenlänge mehr in dem Kasten Platz als bei der vorangegangenen.

Aus Teil I, Gl. (17) und Gl.(17a) kennen wir den Zusammenhang zwischen Energie und Impuls sowie Impuls und Wellenlänge des Elektrons (de-Broglie-Beziehung). Demnach gilt bei V₀=0, es wird hier nur die kinetische Energie (Translationsenergie) des Teilchens betrachtet, die Gleichung . Ausmultiplizieren und Umstellen nach a ergibt

(36)

Gl. (36) bringt zum Ausdruck, dass sich die Quantenzahl n auf halbe Wellenlängen ½l des Elektrons bezieht. Dieser einfache Ausdruck für den Bezug von a auf die physikalische Elementargröße l zeigt, dass auch der Ausdruck für die quantisierte Energie eine physikalische Realität beschreibt und keine Ausgeburt eines mathematischen Formalismus ist. Da nach Gl. (4) k=2p/l ist, gilt . Somit ergibt sich .

Der Impuls eines Teilchens im Kasten ist nicht bestimmt. Hierzu untersuchen wir den durch Einsetzen von Gl. (36) in die Wellenfunktion Gl. (35) sich ergebenden folgenden Ausdruck:

(37)

Es wird sich zeigen, dass diese Wellenfunktion keine Eigenfunktion des Impulsoperators ist. Hierzu betrachten wir die Schrödinger-Gleichung . Es ergibt sich . Durch Ausmultiplizieren erhalten wir den Ausdruck . Hier ist die Funktion auf der rechten Seite der Gleichung von der auf der linken Seite verschieden! Wir können die Gl. (35) durch Einsetzen von k=np/a vereinfachen und erhalten bzw. . Da ist können wir schreiben

, mit k=np/a (38)

Wir haben damit die Wellenfunktion als lineare Superposition von Eigenfunktionen des Impulsoperators geschrieben. Wenn wir den Impuls messen, werden wir in der Hälfte der Fälle einen Wert von + bekommen und in der anderen Hälfte der Fälle einen Wert von . Das ist das quantenmechanische Analogon der klassischen Situation, in der das Teilchen hin- und herspringt und sich daher die Hälfte der Zeit nach links und die andere Hälfte nach rechts bewegt.

Die Tatsache, dass die Quantenzahl n nicht null sein kann, hat die sehr bedeutsame Konsequenz, dass auch die Energie des Teilchens nicht null werden kann, sondern mindestens beträgt. Diese tiefste, nicht aus dem System entfernbare Energie heißt Nullpunktsenergie. Die physikalische Ursache der Nullpunktsenergie können wir uns auf zwei Wegen klar machen. Erstens verlangt die Unschärferelation, dass ein Teilchen immer Energie besitzt, wenn sein Ort auf einen unendlichen Bereich eingeschränkt ist also das Teilchen sich in einem makroskopischen Behälter befindet. Wenn der Ort des Teilchens nicht völlig unbestimmt ist, kann sein Impuls nicht exakt null sein, daher muss es auch eine von null verschiedene Energie besitzen. Zweitens können wir so argumentieren: Da die Wellenfunktion an den Wänden null sein muss, aber nicht überall null sein darf, ferner stetig und glatt sein soll, muss sie gekrümmt sein. Aus einer Krümmung der Wellenfunktion folgt jedoch, dass das Teichen kinetische Energie besitzt.

Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Energieniveaus des Teilchens beträgt:

(39)

Der Abstand der Energieniveaus nimmt mit zunehmender Größe des Kastens ab und ist für makroskopische Behälter sehr klein. Wenn die Wände unendlich weit entfernt sind, wird der Abstand zwischen den Energieniveaus null. Die Translationsenergie freier Teilchen ist daher nicht gequantelt. Atome und Moleküle in normalen Laborgefäßen können wir jedoch ebenfalls mit gutem Gewissen so behandeln, als ob ihre Translationsenergie nicht quantisiert wäre.

 

Wahrscheinlichkeitsdarstellung durch Dichte einer Schattierung

Abbildung 3

Wenden wir uns nun einer weiteren Eigenschaft von Wellenfunktionen zu. Zwei Funktionen heißen orthogonal, wenn das Integral über ihr Produkt verschwindet. In mathematischer Schreibweise heißt das, zwei Funktionen, z. B. y₁ und y₃ sind orthogonal, wenn gilt, wobei sich die Integration über den gesamten Raumbereich erstreckt. Ein allgemeines Prinzip besagt, dass Wellenfunktionen eines Systems, die zu unterschiedlichen Energien gehören, orthogonal sind. Wir können diese Aussage anhand der beiden Wellenfunktionen des Teilchens im Kasten mit n=1 und n=3 explizit verifizieren.

(40)

Anstelle der Angabe des Integrals wird im folgenden die Integralkurve dargestellt.

 

Darstellung des Integrals für zwei Wellenfunktionen y₁ (n=1) und y₃ (n=3)

Abbildung 4

 

Das Integral ist gleich der Fläche unter der Kurve des Produkts. Sie ist, wie man durch Ausmessen der positiven Flächenanteile (Fläche oberhalb der Nulllinie) und negativen Flächenanteile (Fläche unterhalb der Nulllinie) sofort sieht, null. Die Orthogonalität von Wellenfunktionen ist in der QM sehr wichtig, da sie es ermöglicht, viele der in den Berechnungen auftretenden Integrale zu eliminieren, womit sich die Berechnung vereinfacht.