5. Bewegung in zwei Dimensionen

Wir wollen nun eine zweidimensionale Variante des Teilchens im Kasten betrachten. Das Teilchen ist jetzt auf einer zweidimensionalen Fläche der Länge L₁ in x-Richtung und L₂ in y-Richtung gefangen.

 

Zweidimensionaler Kasten

Abbildung 5

Das Teichen kann sich auf der zweidimensionalen Fläche, die von undurchdringlichen Wänden umgeben ist, frei bewegen. An den Wänden steigt die potenzielle Energie abrupt auf unendlich. Die Schrödinger-Gleichung lautet hierfür

(41)

Die Wellenfunktion hängt nun von den beiden Variablen x und y ab, daher treten in der Gleichung partielle Ableitungen auf; die Schrödinger-Gleichung ist jetzt eine partielle Differentialgleichung.

Manche partiellen Differentialgleichungen lassen sich durch die Methode der Separation der Variablen in zwei oder mehr gewöhnliche Differentialgleichungen aufspalten, die nur noch von je einer Variablen abhängen. Wir versuchen diese Methode auch bei der vg. Gl (41) und schreiben unsere Wellenfunktion dazu als Produkt zweier Funktionen, von denen die eine nur von x und die andere nur von y abhängt:

(42)

Diese Schreibweise soll uns daran erinnern, dass X nur von x und Y nur von y abhängt. Wir erhalten und . Voraussetzung dafür ist, dass X nicht von y und Y nicht von x abhängt. Die Schrödinger-Gleichung lautet dann: . Division beider Seiten durch (X×Y) ergibt . Der erste Term auf der linken Seite hängt nicht von y ab, bei einer Änderung von y kann sich daher nur der zweite Term ändern. Die Summe der beiden Terme auf der linken Seite ist aber konstant, weil die rechte Seite der Gleichung konstant ist; somit kann sich auch der zweite Therm auf der linken Seite auch bei einer Variation von y nicht ändern. Folglich muss dieser zweite Therm gleich einer Konstante sein, die wir mit bezeichnen. Die gleiche Argumentation zeigt, dass der erste Term auf der linken Seite sich bei einer Variation von x ebenfalls nicht ändern kann. Wir setzen daher die zugehörige Konstante gleich . Offensichtlich gilt E_x+E_y=E. Wir können also schreiben und . Durch Umformen dieser einfachen Differentialgleichungen, so dass auf der linken Seite jeweils E_x×X bzw. E_y×Y steht, ergibt die beiden Ausdrücke

und mit E=E_x+E_y. Hierbei ist E_x die Energie des Teilchens, die einer Bewegung in x-Richtung entspricht, und E_y die Energie für die Bewegung in y-Richtung.

Jede der beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen ist identisch mit der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen im Kasten. Wir können daher diese Lösungen ohne weitere Rechnung übernehmen:

und .

Mit und erhalten wir schließlich

(43)

(dabei gilt 0 £ x £ L₁ und 0 £ y £ L₂) und

(44)

Die Quantenzahlen n₁ und n₂ können unabhängig voneinander die Werte 1, 2, ... annehmen. Die nachfolgenden sechs Abbildungen zeigen zwei der Wellenfunktionen mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten. Die Abbildungen lassen erkennen, dass der Verlauf der Funktionen parallel zu einer der Achsen genau dem eindimensionalen Fall entspricht.

Zunächst betrachten wir die Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten eines Teilchens auf einer rechteckigen zweidimensionalen Fläche. Die Quantenzahlen n₁ und n₂ können unabhängig voneinander die Werte 1, 2, ... annehmen.

Grundzustand n₁=1, n₂=1

Abbildung 6a

 

Wahrscheinlichkeitsdichten zum Grundzustand

Abbildung 6b

 

Angeregter Zustand, n₁=1, n₂=2

Abbildung 6c

Wahrscheinlichkeitsdichten zum angeregten Zustand, n₁=1, n₂=2

Abbildung 6d

 

Angeregter Zustand, n₁=2, n₂=2

Abbildung 6e

 

Wahrscheinlichkeitsdichten zum angeregten Zustand, n₁=2, n₂=2

Abbildung 6e

 

Ein Teilchen in einem dreidimensionalen Kasten können wir genauso behandeln. Die Wellenfunktionen enthalten dann noch einen dritten Faktor, der die z-Abhängigkeit beschreibt, und die Energie (Gl. (44)) enthält noch einen Term der Form n₃²/L₃².

 

Wenn die Fläche des zweidimensionalen Systems quadratisch ist, d. h. L₁=L₂=L, tritt als interessante Eigenschaft der Lösungen, die Entartung, zutage. Aus Gl. (43) bzw. Gl. (44) wird

(45)

 

Wir wollen die Fälle n₁=1, n₂=2 und n₁=2, n₂=1 vergleichen. Es ergibt sich:

und (46a)

sowie

und (46b)

Offensichtlich entsprechen beide Wellenfunktionen der gleichen Energie. Dieses Phänomen wird als Entartung bezeichnet. In diesem Fall gibt es zwei entartete Wellenfunktionen. Man bezeichnet den Zustand mit der Energie 5h²/8mL² daher als zweifach entartet.

Das Auftreten von Entartung hängt mit der Symmetrie des Systems zusammen. Die Konturliniendiagramme der beiden Wellenfunktionen y_1,2 und y_2,1 sind in Abbildung 6f gezeigt.

Quadratischer zweidimensionaler Kasten

Abbildung 6f

Da der Kasten quadratisch ist, geht die erste durch Drehung um 90° in die zweite über. Man spricht davon, dass sie durch eine „Symmetrietransformation“ miteinander zusammenhängen.