6. Die harmonische Schwingung

Ebenso wie das Teilchen im Kasten ist ein harmonisch schwingendes Teilchen in einem symmetrischen Potenzial gefangen. Ein Teilchen führt hier eine harmonische Schwingung aus, da es eine rücktreibende Kraft (F) verspürt, die proportional zu seiner Auslenkung (x) aus der Ruhelage (0) ist.

Prinzipbild

Abildung 7

Beispielweise kann es sich um ein Teilchen handeln, das über eine Spiralfeder mit einer stabilen Wand verbunden ist. Die Proportionalitätskonstante k ist die Kraftkonstante der Feder. Je härter die Feder, desto größer ist ihre Kraftkonstante. Das negative Vorzeichen stellt sicher, dass die Kraft der Auslenkung entgegengerichtet ist. Gemäß dem zweiten Newton’schen Gesetz ist die Ableitung des Impulses (p=mv, wobei v=dx/dt) nach der Zeit gleich der auf das Teilchen wirkenden Kraft (F). Im eindimensionalen Fall heißt das .

Sir Isaak Newton, 1643 - 1727

Mit können wir diese Gleichung auch in der Form schreiben. Die zweite Ableitung d²x/dt² ist die Beschleunigung des Teilchens bzw. die erste Ableitung seiner Geschwindigkeit nach der Zeit. Das zweite Newton’sche Gesetz sagt also aus, dass die Beschleunigung eines Teilchens proportional zu der Kraft ist, die es verspürt. Wir erhalten so

(47)

Gl. (47) hat analog zu Gl. (22) Lösungen der Form wie Gl. (23):

(48)

Hierbei ist der Funktionswert x(t) die Auslenkung x aus der Nulllage in Abhängigkeit der Zeitdauer t seit Auslenkung aus der Nulllage. Im Moment der größten Auslenkung, also bei x=A, steht das Teilchen für einen infinitesimalen Moment still (v=0). Mit ergibt sich durch Multiplikation mit m der Impuls p zu . An der Stelle x=A ist also , womit p=0. Da m, B und A Konstanten sind, muss der Ausdruck cos(Bt)=0 sein, womit Bt=½p ist. Da ist, ergibt sich im Moment der größten Auslenkung (x=A), der Ausdruck . An der Stelle x=A war jedoch Bt=½p, womit sin(Bt)=1 gilt und sich

(49)

ergibt. Im Moment des Durchlaufens der Schwingungsmittellinie an der Stelle x=0 ist nach Gl. (47) F=0. Somit ergibt sich über der Ausdruck . Da m, B und A Konstanten sind, muss der Ausdruck sinBt=0 sein. Dies ist der Fall, wenn Bt=1p oder Bt=-1p ist. Dies zeigt, dass das Teilchen harmonische Schwingungen mit also der Frequenz n=1/T=B/2p ausführt. Somit ist B die Kreisfrequenz w gemäß

(50)

Die Schwingungsdauer T zwischen beiden maximalen Auslenkungen A beträgt (50a)

Bei Bt=0 ist der vom Teilchen der Masse m verursachte Impuls p am größten. Es ist dann nämlich cos(Bt)=1, womit p_max=mBA wird. Bei Bt=p ist die auf das Teilchen wirkende Kraft F am größten. Es ergibt sich über und mit sin(p)=1 der Ausdruck . Diesen Ausdruck erhalten wir auch unmittelbar aus Gl. (47), indem wir dort x=A setzen. Damit haben wir die in Gl. (48) angegebene Lösung für x überprüft.

Die kinetische Energie ergibt sich über zu

(51)

Mit w²=k/m erhalten wir .

Die auf ein Teilchen wirkende Kraft F ist durch die Steigung der potenziellen Energie an seinem Ort gegeben. Die Kraft zeigt in Richtung abnehmender potenzieller Energie. Die Kraft F=-kx auf ein Teilchen hängt durch mit dem Verlauf der potenziellen Energie zusammen. Somit ergibt sich . Das ng. Bild 8a zeigt diesen parabolischen Verlauf der Potenzialenergie E_pot in Abhängigkeit von der Auslenkung x.

 

Kraft auf ein harmonische schwingendes Teilchen

Abbildung 8

 

Mit (vgl. Gl. (48)) ergibt sich

(52)

Damit beträgt die Gesamtenergie (Addition der potenziellen und kinetischen Energie)

(53)

wobei wir cos²wt+sin²wt=1 verwendet haben. Die Energie E_ges des Oszillators ist also konstant und für eine gegebene Kraftkonstante k durch die maximale Auslenkung A bestimmt. Somit können wir dem Teilchen eine beliebige Energie geben, indem wir seine maximale Auslenkung A wählen. Die Schwingungsfrequenz w hängt nur von seinem Aufbau ab (k und m), nicht aber von seiner Energie. Die Amplitude legt durch E=½kA² die Energie des Oszillators fest; sie ist unabhängig von der Frequenz. Das Teilchen schwingt immer mit der gleichen Frequenz, egal wie groß seine Amplitude ist. Damit ergibt sich durch Einsetzen des Ausdrucks für die Gesamtenergie V(x)=½kx² in Gl. (34) des Teils I die Schrödinger-Gleichung für die harmonische Schwingung zu

(54)

Der Operator für die harmonische Schwingung lautet also:

(55)

Er setzt sich analog zu Teil I Gl. (35) aus dem Operator der kinetischen Energie und dem Operator der potenziellen Energie zusammen: Ê_ges=Ê_kin+Ê_pot. Dabei entspricht der Operator Ê_pot einfach der Multiplikation der Wellenfunktion y(x) mit dem Ausdruck ½ kx².

 

Parabolischer Verlauf der potenziellen Energie V(x)= ½ kx²

Abbildung 10

Die Enge der Kurve in Abb. (10) wird durch die Kraftkonstante k bestimmt.

Versuchen wir nun, Gl. (54) zu lösen. Ebenso wie das Teilchen im Kasten ist ein harmonisch schwingendes Teilchen in einem symmetrischen Potenzial gefangen, das für hinreichend große Auslenkungen große Werte annimmt (und schließlich gegen unendlich geht, vgl. Abbildung 10). Wir erkennen jedoch auch zwei bedeutsame Unterschiede. Erstens wird die Wellenfunktion für große Auslenkungen langsamer gegen null gehen als bei einem Teilchen im Kasten, da das Potenzial nur mit x² und nicht abrupt gegen unendlich geht. Zweitens hängt die kinetische Energie des Teilchens auf kompliziertere Weise von der Auslenkung ab, da die potenzielle Energie sich mit der Auslenkung ändert. Folglich wird die Bestimmung der Wellenfunktion für ein harmonisch schwingendes Teilchen komplizierter als die Bestimmung der Wellengleichung für ein Teilchen im Kasten. Daher vereinfachen wir zunächst die Form der Gleichung.

Im ersten Schritt dividieren wir beide Seiten von Gl. (54) durch den Ausdruck .

Den auf der rechten Gleichungsseite sich ergebenden Ausdruck bezeichnen wir mit e. Es ist also . Da nach Gl. (50a) ist, ergibt sich für den Faktor unter dem Bruchstrich der Ausdruck , womit klar ist, dass dieser ebenfalls die Dimension einer Energie hat. Damit ist e ein dimensionsloser Faktor. Somit gilt wegen Gl. (53) der Ausdruck , womit sich ergibt.

Der erste Term auf der linken Seite der Gl. (54) wird bei Division durch zu . Wir bezeichnen ihn mit a². Es wird also der erste Term zu

Der zweite Term auf der linken Seite wird zu . Diesen Faktor bezeichnen wir mit y². Es wird also der zweite Term zu

Damit haben wir die Gl. (54) umgeformt und können schreiben bzw.

(55b)

Wir können aber nun den im obigen Ausdruck für y² unter dem Bruchstrich stehenden Faktor ebenfalls als auffassen, da das Ausmultiplizieren der Gleichung zeigt, dass sich wieder Gl (50), also ergibt.

Somit können wir schreiben bzw. , wodurch sich die Form der Gl. (55b) bzw. Gl. (54) nun wie folgt darstellt:

(56)

Um die Lösung dieser Gl. (56) zu finden, nehmen wir an, dass die exakte Wellenfunktion die Form hat:

(56a)

Hierbei soll f eine Funktion sein, die für große Auslenkungen langsamer gegen unendlich geht, als gegen null: Diese Bedingung stellt sicher, dass auch für große Auslenkungen endlich bleibt und damit die Wellenfunktion physikalisch sinnvoll.

Mit diesem Ansatz unterstellen wir, dass die Wellenfunktion die Form einer glockenförmigen Gauss-Funktion hat.

Johann Gauss 1777 - 1855

Diese Funktion setzen wir in Gl. (56) ein.

Hierzu erinnern wir uns wieder an die grundlegenden Rechenregeln der Differentiation der Funktion . Um die Kettenregel anzuwenden setzen wir , wobei . Nach der Kettenregel gilt für F’ die Rechenvorschrift: . Damit ergibt sich bzw. . Da wir auch noch die zweite Ableitung benötigen führen wir auch diese hier explizit aus. Da es sich um ein Produkt zweier Funktionen handelt, wenden wir hier neben der Kettenregel auch die Produktregel an. Somit ergibt sich . Mit diesen beiden Rechenvorschriften leiten wir nun die Wellenfunktion zweimal ab. Wir erhalten für die 1.Ableitung und für die 2. Ableitung ergibt sich der Ausdruck

bzw. . Diesen letzten Ausdruck setzen wir in Gl. (56) ein und erhalten

. Hieraus ergibt sich und mit H’’=f’’:

 

(57)

 

Diese Differentialgleichung wird als „Hermitesche (selbstadjungierte) Differentialgleichung H“ bezeichnet. Sie wurde von den Mathematikern intensiv untersucht, und ihre Lösungen sind bekannt. Physikalisch sinnvolle Lösungen (d. h. solche, die nicht schneller gegen unendlich gehen als gegen null) existieren nur für positive ungerade und ganzzahlige Werte von e.

 

Dieses Ergebnis bedeutet, dass –ebenso wie unsere Überlegungen zum Teilchen im Kasten- auch der mathematische Formalismus zur Beschreibung der harmonischen Schwingung die Annahme von Energieniveaus oder „energetischen Anregungszuständen“ der Teilchen gestattet, da in beiden Fällen Potenzialwände vorhanden sind. Da energetische Anregungszustände in der Natur beobachtet werden, z. B. in Gestalt von Spektrallinien beim Wasserstoffatom, erfährt dieser mathematische Ansatz so seine Rechtfertigung. Es ist wieder erstaunlich, dass die konsequente Anwendung des mathematischen Formalismus auf eine einfache Grundbewegungsart eines Teilchens, das harmonisch um eine Mittellage hin- und her schwingt schon auf solch grundlegende physikalische Ansätze führt.

Wir schreiben daher e=2n+1, mit n=0, 1, ... Aus der Beziehung zwischen E und e gemäß ergibt sich somit für die Energieniveaus des Oszillators

(58)

 

Energieniveaus eines harmonischen Oszillators

Abbildung 11

Die Energieniveaus eines harmonischen Oszillators sind äquidistant, d. h. der Abstand zwischen benachbarten Energieniveaus beträgt unabhängig von n stets . Auch im tiefsten Zustand besitzt der Oszillator eine von null verschiedene Energie. Die mathematische Ursache der Nullpunktsenergie ist, dass n keine negativen Werte annehmen kann, da sonst die Wellenfunktionen unsinnig würden. Der physikalische Grund ist der gleiche wie für das Teilchen im Kasten: das Teilchen ist durch den Potenzialverlauf in einem bestimmten Gebiet gefangen, sein Ort ist also nicht völlig unbestimmt, daher können sein Impuls und seine kinetische Energie nicht exakt null sein. Wir können uns diesen Grundzustand so vorstellen, dass das Teilchen unaufhörlich um seine Gleichgewichtslage oszilliert. Die klassische Mechanik würde dem Teilchen auch erlauben, völlig stillzustehen.

Mit Gl. (58) können wir Gl. (57) umschreiben und erhalten:

(59)

Die Form der Wellenfunktion erhalten wir aus der Lösung dieser Hermite-Differential- Gleichung.

Die mathematische Herleitung der Lösung ist hier nicht angegeben.

Für positive ganze Zahlen n sind die Lösungen die Hermite-Polynome H_n(y), die durch n- malige Differentiation von entstehen:

(60)

Die ersten Hermite-Polynome H_n(y) sind zusammen mit einigen ihrer häufig verwendeten Eigenschaften in ng. Tabelle aufgeführt:

 

n	Hn
0	1
1	2y
2	4y2-2
3	8y3-12y
4	16y4-48y2+12
5	32y5-160y3+120y
6	64y6-480y4+720y2-120

 

Die genaue Form der Wellenfunktion (s. Gl. (56a)) ist

(61)

Hierbei ist (s. Gl. (55a)) und H_n(y) eines der Hermite-Polynome wobei N_n eine Normierungskonstante ist.

Für das erste Hermite-Polynom gilt H₀=1. Somit lautet die Wellenfunktion des Grundzustandes (also des Zustandes mit der niedrigsten Energie) eines harmonischen Oszillators:

(62)

und die Wahrscheinlichkeitsdichte

(63)

 

Normierung der Wellenfunktion

Die Schrödinger-Gleichung besitzt die Eigenschaft, dass für jede Lösung y auch Ny eine Lösung ist, wenn N eine beliebige Konstante ist. Da wir die Wellenfunktion also mit einem beliebigen konstanten Faktor multiplizieren dürfen, können wir eine Normierungskonstante so wählen, dass aus der Proportionalität in der Bornschen Interpretation eine Gleichheit wird.

Diese Normierungskonstante erhalten wir aus folgender Überlegung. Für die normierte Wellenfunktion Ny beträgt die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in Intervall dx anzutreffen, (Ny)×(Ny)dx. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen überhaupt irgendwo im Raum anzutreffen, soll 1 sein. Wir schreiben daher . In drei Raumdimensionen lautet die Bedingung für die Normierung oder kürzer , wobei wir dt=dx×dy×dz verwendet haben. Unsere Normierungskonstante in dem eindimensionalen Fall lautet also und die Integration erstreckt sich von -¥ bis +¥. Da die Wellenfunktion in der dimensionslosen Variablen mit ausgedrückt werden, formulieren wir zunächst das Integral in der gleichen Variablen, wobei wir verwenden. Somit erhalten wir

(64)

Das Integrationsergebnis wurde dem Teubner-Taschenbuch Mathematik, s. Seite 128 entnommen. Die Normierungskonstante ist

(65)

Die Wellenfunktion lautet demnach:

(66)

Normierte Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte bei n=0

Abbildung 12

Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte haben beide ein Maximum bei der Auslenkung null und bestätigen so unser klassisches Bild von der Nullpunktsbewegung, dass das Teilchen um seine Ruhelage oszilliert.

 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die ersten fünf Zustände

Abbildung 13

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind hier durch die Dichte der Schattierung dargestellt. Die Bereiche der größten Wahrscheinlichkeitsdichte (der dunkelsten Schattierung) verschieben sich mit steigendem n in Richtung der klassischen Umkehrpunkte der Schwingung.

Die Wellenfunktion im ersten angeregten Zustand, die Funktion mit n=1, erhalten wir, indem wir H₁=2y einsetzen:

(67)

Der Verlauf dieser Funktion ist ng. Abbildung zu entnehmen:

Normierte Wellenfunktion des ersten angeregten Zustands n=1

Abbildung 14

Die Funktion ist in der Ruhelage (bei der Auslenkung null) gleich null; die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt je ein Maximum zu beiden Seiten der Ruhelage. Diese Wellenfunktion ist orthogonal zu der des Grundzustands (vgl. Abbildung 12).

Damit haben wir die wichtige Bewegungsart „der harmonischen Schwingung mit der Methode der QM abschließend behandelt.