7. Umlauf in zwei Dimensionen

7.1. Drehimpulsoperator

„Umlauf“ ist eine Bewegungsart, die bei der Behandlung der elektronischen Struktur von Atomen, in denen Elektronen um den Kern kreisen können, eine bedeutende Rolle einnimmt. So wie wir die Translation eines Teilchens (Bewegung entlang einer Achse) durch seinen Impuls beschrieben haben (s. Gl. (14), können wir auch den Umlauf eines Teilchens als Bewegung entlang eines Kreisumfangs durch seinen Drehimpuls J beschreiben. Zur Berechnung des Drehimpulses verwenden wir die in der nächsten Abbildung gezeigte Vorrichtung aus der klassischen Mechanik.

Drehimpuls einer Masse (m)

Abbildung 15

Eine Masse (m) sei über einen Stab der Länge r mit einem auf der x, y-Ebene senkrecht stehenden, reibungsfreien, drehbaren und im Vergleich zur Masse (m) praktisch masselosen Stab fest verbunden. Auf die Masse (m) wirke nun für eine kleine Zeit (t) eine Kraft (F) unter einem Winkel (a) auf die Masse (m). Aufgrund des auf die Masse (m) ausgeübten Kraftstoßes (Impuls) dreht sich die Masse (m) um den Drehpunkt bzw. dreht sich der Stab (z) und hat den kleinen Drehimpuls . Der Ausdruck steht für die Impulskomponente (p_y) in y-Richtung und für die Impulskomponente (p_x) in x-Richtung (M steht für Drehmoment). Somit ist

 

(68)

 

Das negative Vorzeichen resultiert aus gewählten der Lage (a) der Kraft (F) in Bezug auf die F_x, F_y- Koordinaten.

Es ist aus Abb. 15 sofort zu sehen, dass die Komponente der Komponente entgegenwirkt. Das positive Vorzeichen von p_y ergibt sich aus der Definition, dass bei Blickrichtung von unten nach oben entlang der z-Achse die Drehrichtung des z-Stabs im Uhrzeigersinn als positiv angesehen wird. Nach Beendigung des Kraftstoßes ist ?in Bezug auf den Drehpunkt? der Drehimpuls entstanden. Hierbei greift die Kraft F_r im Mittelpunkt der Masse (m) an, stand während der Zeit t senkrecht auf der r-Stange und zeigte in die gleiche Richtung wie das Drehmoment (M). Der Drehimpuls (J) manifestiert sich nach Umsetzen der Kraft (F_r) in Gestalt der einmaligen Beschleunigung (a) der Masse (m) von 0 auf die Geschwindigkeit v innerhalb der Wirkzeit t. Es ist also bzw. . Somit gilt für den Drehimpuls die Gleichung

(69)

Dies ist die nach den Gesetzmäßigkeiten der klassischen Mechanik hergeleitete Grundformel für den Drehimpuls.

 

Im folgenden beginnen wir mit der Suche nach der Wellenfunktion des Drehimpulses (J_z). Hierbei ist f der Winkel in Rad zwischen der x-Achse und dem r-Stab (in Abb. 15 mit bezeichnet. Aus Gl. (14) kennen wir bereits den Impulsoperator . Daher schreiben wir, ausgehend von Grund-Gleichung (69), für den Operator des Drehimpulses () um die z-Achse:

(70)

Bevor wir versuchen, die Wellenfunktion des Drehimpulses zu bestimmen, transformieren wir die kartesischen Variablen (x, y) in Polarkoordinaten, und , da in dem Polar-Koordinatensystem die Symmetrie des Systems soweit wie möglich ausnutzt werden kann. Die allgemein gültige Transformation selbst ist ausführlich im Kapitel 8. „Mathematische Werkzeuge“ beschrieben und dort nachzulesen (s. Gl. (90). Es gilt

(Gl. 71)

Aus Gleichung (69) lässt sich der folgende Zusammenhang zwischen den Flächenelementen dx, dy und den kartesischen Variablen x, y herleiten.

Durch Quadrieren ergibt sich bzw. . Durch Ausmultiplizieren erhalten wir . Dieser Ausdruck lässt sich zusammenfassen zu bzw. zu

(72)

Durch Einsetzen des Impulsoperators aus Gl. (14), schreiben wir für Gl. (68) den Ausdruck bzw. . Hieraus ergibt sich über der beim Drehimpuls geltende Zusammenhang zwischen den Flächenelementen dx, dy und den kartesischen Variablen x, y zu

(73)

Dieser Ausdruck lässt sich nun leicht in die Darstellung mit Polarkoordinaten überführen. Durch Quadrieren ergibt sich . Wir addieren nun auf beiden Seiten mit und erhalten so . Es ist leicht zu sehen, dass dieser Ausdruck aus entstanden ist und dass sich hieraus bzw. ergibt. Durch Gleichsetzen dieses Ausdrucks mit Gl. (71) schreiben wir . Somit ist bzw.

(74)

Dies ist die gesuchte Transformationsgleichung für den Drehimpuls. Nun Multiplizieren wir beide Gleichungsseiten noch mit und erhalten . In diesem Ausdruck stimmt die rechte Gleichungsseite explizit mit Gl. (70) überein. Der Hamiltonoperator für den Drehimpuls in Polarkoordinaten lautet also:

(75)

Damit haben wir, ausgehend von der klassischen Mechanik, den Drehimpulsoperator, ausgedrückt in Polarkoordinaten, gefunden und sind der Herleitung der Wellengleichung des Drehimpulses einen großen Schritt näher gekommen.

Bevor wir nun irgendeine Wellengleichung suchen, betrachten wir im nächsten Kapitel zunächst die physikalischen Eigenschaften des Drehimpulses aus quantenmechanischer Sicht.

7.2. Bahnquantenzahl des Drehimpulses

Der Betrag des Drehimpulses ist J=I×w, wobei in dieser Formel w die Winkelgeschwindigkeit und das Trägheitsmoment des Teilchens ist, das hiermit eingeführt wird. Für ein punktförmiges Teilchen der Masse m, das sich auf einem Kreis mit Radius r bewegt, ist das Trägheitsmoment definiert als . Da nach Gl. (69) ist, gilt bzw. , womit sich für die Winkelgeschwindigkeit der Ausdruck ergibt.

Der Drehimpuls eines Teilchens ist groß, wenn es ein großes Trägheitsmoment besitzt, also eine große Masse hat und sich auf einem großen Radius bewegt und seine Winkelgeschwindigkeit ist groß, wenn es schnell auf seiner Kreisbahn umläuft. Die Newton’sche Gleichung lautet in diesem Fall . Diesen Ausdruck haben wir schon im Abschnitt vor Gl. 68 kennen gelernt. Wenn dort t=dt gesetzt wird, geht J in dJ über. Wenn für eine Zeit t ein konstantes Drehmoment wirkt, so ergibt sich nach Gl. (69) . Aus Teil I, Gl. (17) und Gl.(17a) kennen wir bereits den Zusammenhang zwischen kinetischer Energie (E_kin) und Impuls (p) mit . Da ergibt sich

. (76)

ist die Umlaufenergie, die ein anfänglich ruhender Körper erhält. Da ist, können schreiben (77)

Drehimpuls eines Teilchens

Abbildung 16

Betrachten wir nun nochmals ein Teilchen der Masse m, das sich nur auf einer Kreisbahn mit Radius r in der xy-Ebene bewegen kann und dessen potenzielle Energie überall null ist, so dass die kinetische Energie gleich der Gesamtenergie E=p²/2m ist. In der klassischen Mechanik ist der Drehimpuls um die z-Achse (die senkrecht auf der xy-Achse steht) J_z=rp, so dass wir die Energie J_z²/2mr² schreiben konnten (s. Gl. (76)). Es ist jedoch mr² gerade das Trägheitsmoment I der Masse, so dass (s. Gl. (77). Nach der de-Broglie-Relation (s. Teil I, Gl. (17a) ist p=h/l, und es ergibt sich . Diese Gleichung zeigt den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge (l) eines Teilchens auf einer Kreisbahn und seinem Drehimpuls (J_z). Sofern die Wellenlänge beliebige Werte annehmen könnte, würde die Abhängigkeit der Wellenfunktion vom Winkel f etwa wie in Abb. (17a) aussehen:

Teichen auf einem Ring

Abbildung 17

Wenn f über 2p hinaus ansteigt, verändert sich die Wellenfunktion zwar weiterhin periodisch, würde aber im allgemeinen andere Werte annehmen, als am selben Punkt bei früheren Umläufen. Dies bedeutet, dass die Wellenfunktion am gleichen Ort sich sprunghaft verändert hätte, was nicht akzeptabel ist. Dieses Problem kann dadurch gelöst werden, dass die Wellenfunktion bei den einzelnen Umläufen immer wieder dieselben Werte annimmt (s. Abb. (17b)). Damit die Wellenfunktion diese Bedingung erfüllt, muss der Umfang des Kreises () ein ganzzahliges Vielfaches (m_l) der Wellenlänge l sein, also . Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, treffen sich die Enden der Wellenfunktion nach einem ganzen Umlauf um den Kreis wieder bei dem gleichen Wert. Über diese einsichtige physikalische begründete Forderung rechtfertigt sich die mathematische Einführung der Bahn-Quantenzahl (m_l). Diese kann eine beliebige Zahl sein, auch null. Der Drehimpuls kann also nur die Werte annehmen. Positive Werte von m_l entsprechen einem Umlauf um die z-Achse im Uhrzeigersinn, negative Werte einem Umlauf im Gegenuhrzeigersinn. Es ergeben sich folgende Ausdrücke:

 

bzw. (78)

Damit haben wir die quantenmechanischen Zusammenhänge erörtert.

7.3. Wellenfunktion des Drehimpulses

Die Schrödinger-Gleichung für den Impuls eines Teilchens in einer xy- Ebene (mit V=0) haben wir bereits mit Gl. (41) kennen gelernt. Dort war . Bevor wir versuchen, diese Gleichung zu lösen, transformieren wir sie in die Polarkoordinaten und . Aus der Transformation der kartesischen Variablen in Polarkoordinaten (s. Kapitel 8.1) ergab sich die Gleichung bzw.

bzw. (79)

Bezogen auf die kartesischen Koordinaten gilt . Wir erhalten . Über diese einfachen Umformungen können wir nun die Transformation der Koordinaten vornehmen.

(80)

Wir haben hier das Zeichen eingeführt. Es steht für den Nabla-Operator. Entsprechend ist der Nablaoperator der Wellenfunktion . Für eine Ebene (kartesische x-y-Koordinaten bzw. polare -Koordinaten) ist . Um die Transformation abzuschließen, setzen wir Gl. (80) in Gl. (41) ein. Die Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten lautet dann

(81)

Wir schreiben , wobei die rechte Seite aus Gl. (78) stammt. Die normierten allgemeinen Lösungen lauten

(82)

Aus diesen allgemeinen Lösungen wählen wir jetzt die akzeptablen Wellenfunktionen aus, indem wir die einzige Einschränkung machen, dass die Funktion eindeutig sein soll. Das bedeutet, dass die Wellenfunktionen eine zyklische Randbedingung erfüllen müssen und an Punkten, die genau 2p voneinander entfernt sind, die gleichen Werte annehmen müssen: . Wenn wir diese Bedingung auf die allgemeinen Lösungen anwenden, so erhalten wir . Da e^ip=-1 ist, können wir dafür auch schreiben . Die Randbedingung ist erfüllt, wenn 2m_l eine positive oder negative gerade ganze Zahl ist: m_l=0, ±1, ±2, ...

7.4. Überprüfung des Drehimpulsoperators

Unsere bisherigen Schlussfolgerungen können wir in einem Satz zusammenfassen: Auch die Umlaufenergie ist gequantelt und auf die durch Gl. (78) gegebenen Werte beschränkt. Die Quantenzahl m_l geht quadratisch in den Energieausdruck ein. Daher ist die Umlaufenergie unabhängig von der Richtung des Umlaufs. Weiter haben wir in Gl. (78) gesehen, dass auch der Drehimpuls gequantelt und auf die Werte beschränkt ist. Nach Gl. (75) lautet der Operator für den Drehimpuls und die Wellenfunktion nach Gl. (82) .

Unter Vernachlässigung der Normierungskonstante ergibt sich

. Somit ist . Folglich ist Eigenfunktion des Drehimpulsoperators zum Eigenwert . Wenn m_l positiv ist, so ist der Drehimpuls positiv (Umlauf im Uhrzeigersinn, von unten betrachtet). Wenn m_l negativ ist, so ist der Drehimpuls negativ (Umlauf entgegen Uhrzeigersinn, von unten betrachtet). Diese Tatsache ist die Grundlage der Vektordarstellung von Drehimpulsen, in welcher der Betrag des Drehimpulses durch die Länge eines Pfeils und die Bewegungsrichtung durch seine Richtung angegeben wird (s. hierzu Kapitel 8.2).

Zuletzt wollen wir nach dem Ort des Teilchens fragen, das sich in einem Zustand mit definiertem Drehimpuls befindet.

 

Wie üblich bilden wir die Wahrscheinlichkeitsdichte .

Da dieser Ausdruck nicht von f abhängt, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen anzutreffen an jeder Stelle seiner Bahn gleich groß. Sein Ort ist also vollkommen unbestimmt: Die Kenntnis des Drehimpulses verbietet es, etwas über die Position des Teilchens auszusagen. Winkel und Drehimpuls sind komplementäre Observablen. Die Unmöglichkeit, ihre Werte gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit anzugeben ist ein weiteres Beispiel für die Unschärferelation.