8. Mathematische Werkzeuge

8.1. Partielle Ableitungen

Neben Funktionen von einer Variablen sind auch Funktionen von mehreren Variablen vorstellbar und von Bedeutung. Die Fläche über einer Ebene ist eine Funktion von zwei Variablen f(x; y). Die Steigung einer solchen Funktion f(x, y), bezüglich einer Variablen –die andere wird konstant gehalten- heißt partielle Ableitung der Funktion nach der betreffenden Variablen. Geometrisch bedeutet dies die Höhenänderung eines Punktes P₁(x, y) auf der von f(x, y) beschriebenen Fläche nach P₂(x+dx, y+dy). Die lokalen Steigungen für konstantes x bzw. konstantes y sind in ng. Abb. (18) dargestellt.

 

Abbildung 18

Man kann aus der partiellen Ableitung ablesen, wie sich die Funktion ändert, wenn sich mehrere Variable um einen infinitesimalen Betrag ändern. Ändert sich x um dx und y um dy, so ändert sich f um df gemäß

 

(83)

 

Entsprechend dieser Formel ergibt sich die gesuchte Höhenänderung df durch Addition der beiden Summanden „Produkt aus der 1.Ableitung der Funktion nach der Variablen x bei konstantem y und Schrittweite dx“ und „Produkt aus der 1.Ableitung der Funktion nach der Variablen y bei konstantem x und Schrittweite dy“.

Wenden wir diese Rechenvorschrift auf die Parabel an. Es ist dann . In der nachfolgenden Abb. 19 wird die Stelle x=8 mit der Schrittweite dx=4 betrachtet.

Abbildung 19

 

Es ergibt sich die Höhenänderung zu und die Gesamthöhe . Tatsächlich beträgt die Gesamthöhe aber . Die Abweichung ist . Dieses Ergebnis zeigt, dass es sich bei Gl. (80) um eine Näherungsformel handelt. Diese ist jedoch gut anwendbar, wie die folgende Überlegung zeigt. Mit der kleineren Schrittweite dx=1 (anstelle von dx=4) hätte sich eine Abweichung in der Höhenbestimmung von nur ergeben. Da die Schrittweite dx jedoch infinitesimal klein gewählt werden kann, wird die Abweichung entsprechend unendlich klein, also null.

Diese Zusammenhänge gelten auch in der y-Richtung, da hier die Variable x in die Variable y lediglich umzuschreiben ist.

Mit Gl. (80) haben wir einen einfachen Ausdruck gefunden, um die Höhenänderung von Funktionen mit mehreren Variablen zu bestimmen.

 

8.2. Vektorrechung

Die Koordinaten und im kartesischen x-y- Koordinatensystem geben die Lage des Punktes an. Andererseits beschreibt das Zahlenpaar auch den Vektorpfeil , der bei (0; 0) startet und bei (3; 2) endet.

Abbildung 20

 

Die Schreibweise bedeutet, dass zuerst 3 Schritte in Richtung der x-Achse und von dort aus 2 Schritte in Richtung der y-Achse zu gehen ist, um den Endpunkt zu erreichen. Für einen Vektorpfeil, der in vg. x-y-Ebene durch ein Zahlenpaar beschrieben wird, sind die Notationen mit Vektorpfeil und fettgedruckt k üblich. Wir wenden hier die Schreibweise mit Komponentendarstellung an. Analog liegt es im dreidimensionalen Raum nahe, anstelle eines ebenen Koordinatensystems ein kartesisches Koordinatensystem mit drei Raumachsen x, y und z einzurichten und einen Punkt P im Raum bzw. einen Vektor vom Ursprung zum Punkt P durch ein Zahlentripel (x, y, z) zu beschreiben.

Abbildung 21

Es ist dann , wobei die Länge des Vektors ist. Es entspricht dem Abstand des Punktes P vom Ausgangspunkt (Ursprung) M(x=0, y=0, z=0). Der Abstand lässt sich mit den Regeln zur Berechnung der Hypothenuse eines Dreieckes bestimmen. Es ist die Länge eines Vektors in drei Dimensionen.

 

Einheitsvektor

Wir können nun an einer beliebigen Stelle x₁ auf der x-Achse einen Vektor () platzieren, der in Richtung der x-Achse zeigt. Dieser Vektor hat dann die Komponenten x=x₁, y=0 und z=0 bzw. . Damit sich an der Länge der Strecke x-0 nichts ändert, ordnen wir diesem Vektor den Betrag (also die Länge) „1“ zu und benennen ihn mit Einheitsvektor.

Abbildung 22

Wir können für die x-Achse schreiben

(84)

Mit dieser Schreibweise wird das Produkt aus Skalar (Zahl) und Vektor wieder als einen Vektor aufgefasst. Dieser neue Vektor hat einen um das x₁-fache höheren Betrag als der Einheitsvektor. Da sich durch die Erhöhung des Betrags des Einheitsvektors dessen Richtung nicht geändert hat, zeigt auch der neue Vektor in Richtung der x-Achse. Analog gilt und . In Abb. (19) zeigt der Index 1 in x-Richtung, Index 2 in y-Richtung und Index 3 in z-Richtung.

Skalarprodukt

Dagegen bezeichnet man die Multiplikation zweier Vektoren als Skalarprodukt.

Abbildung 23

Für die skalare Multiplikation zweier Vektoren gilt die Rechenregel

(84a)

Der Name Skalarprodukt rührt daher, dass dem Produkt der Vektoren ein Skalar (Zahl: ) zugeordnet wurde. Es wird also kein neuer Vektor gebildet. Der Winkel „Null“ bedeutet, dass die Vektoren und zusammenfallen. Es ergibt sich dann . Es gilt in diesem Falle die Rechenregel

(Gl. 85)

Die Definition nach Gl. (84a) ist in Abb. (24) nochmals veranschaulicht.

Abbildung 24

Hier wurde die Lage der Koordinatenachsen so gewählt, dass in Richtung der x-Achse zeigt, also ist und in der x-y-Ebene liegt, also ist. In diesem Fall wird nach Gl. (85) das Skalarprodukt . Entsprechend Gl. (84a) ist aber bzw. sowie bzw. . Damit wird obige Ausdruck des Skalarprodukts zu bzw. zu . Der Abb. (24) ist zu entnehmen, dass ist. Daher kann man das Skalarprodukt „geometrisch“ schreiben zu . Wenn wir nun die Vektoren und in Einheitsvektoren darstellen ist und . Die „skalare“ Muliplikation dieser Vektoren

führt zu , also wieder zur Rechenregel aus Gl. (85).

Vektorprodukt

Man kann jedoch die Multiplikation zweier Vektoren auch so durchführen, dass ein neuer Vektor entsteht. Diese Multiplikationsart nennt man Vektorprodukt oder Kreuzprodukt.

Abbildung 25

Durch das Vektorprodukt (sprich: a kreuz b) entsteht ein neuer Vektor , der seinerseits orthogonal) auf der x-y-Ebene steht und als Betrag den Wert des Flächeninhalts des Parallelogramms hat, das beide Ausgangsvektoren aufspannen. Es gilt die Rechenregel

(Gl. 86)

Hierbei ist der Einheitsvektor, der senkrecht auf der von und festgelegten Ebene steht und aus ihr bei einer Drehung des ersten Vektors in den zweiten in Form einer Rechtsschraube herauszeigt (siehe auch Abb. (26). Es ist zu beachten, dass die Drehung auf kürzestem Wege erfolgt. Betrachten wir nun ein kartesisches Koordinatensystem. Es ist und , womit dieser Faktor nicht mehr auftaucht. Für zwei beliebige Vektoren und berechnet sich der entstehende neue Vektor gemäß der Rechenvorschrift nach Pierre Sarrus, 1798 - 1861:

Gl. (87)

 

Die rechte Gleichungsseite bringt zum Ausdruck, dass der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren auch über die Determinante einer Jakobi-Matrix berechnet werden kann. Wir können diese Aussage bestätigen, wenn wir die Vektoren und in Einheitsvektoren darstellen. Es ist dann bzw. . Das Vektorprodukt ist

Es ist darauf zu achten, dass bei einer „vektoriellen“ Multiplikation von Vektoren (hier der Einheitsvektoren) stets die gleiche Reihenfolge eingehalten wird: Im vorliegenden Fall wurden die Einheitsvektoren von stets zuerst notiert. Entsprechend Gl. (84) bilden wir nun das Kreuzprodukt für die Einheitsvektoren, wobei alle möglichen Kombinationen aufgeführt werden.

 

Nun vertauschen wir die Reihenfolge:

Für das Vektorprodukt gilt demnach die Rechenregel . Diese Regel wird oft auch als Anti-Kommutativgesetz bezeichnet. Dieses Gesetz wird durch die folgende Grafik veranschaulicht:

Abbildung 26

Die Darstellung macht deutlich, dass sich die Drehrichtung geändert hat. Der Drehsinn der Schraubenbewegung ist hier durch die Spiralen angedeutet. Damit erhalten wir

. Hieraus ergibt sich

Gl. (88)

Gl. (87) zeigt, dass der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren auch durch die Determinante det(J) einer Jacobi-Matrix berechnet werden kann, denn die Berechnung dieser Determinante erfolgt mit der gleichen Rechenregel . In der Ebene entfallen die Komponenten der dritten Richtung (Raumrichtung) und und Gl. (88) wird zu .

Wir werden von den hier auszugsweise angegebenen Vorschriften zur Vektorrechnung bei der Einführung der Kugelkoordinaten Gebrauch machen. Auf die Rechenregeln der Vektoranalysis wird nicht eingegangen, da wir sie für diesen Zweck nicht zwingend benötigen.

8.3. Transformation kartesische Variable in Polar-Koordinaten

 

Polarkoordinaten

Abbildung 27

Das Flächenelement dA ergibt sich über . Hierbei ist dB die Länge des Bogensegments und dp die Radiusvergrößerung. Somit ist , wobei die Winkelangabe in Grad bedeutet. Durch Multiplikation von mit ergibt sich in Rad und wir erhalten den Ausdruck .

Mit p=r ergibt sich das Flächenelement für Polarkoordinaten zu

(89)

Dieses Flächenelement für Polarkoordinaten ist adäquat zum Flächenelement für kartesische Koordinaten mit . Zwar haben beide Flächenelemente unterschiedliche geometrische Bedeutung und Größe, jedoch wird dieser Unterschied durch die entsprechende Wahl der Integrationsgrenzen berücksichtigt und damit eliminiert. Daher können beide Flächenelemente gleich gesetzt werden. Es gilt also bzw.

(90)

Im folgenden wird eine allgemein gültige Methode gezeigt, wie sich das Flächenelement in einem Intergral beim Übergang von einem zu einem anderen Koordinatensystem berechnet. Da hier nur das Prinzip angedeutet werden soll, beschränken wir uns auf zwei Raumdimensionen. Das Schema am Ende ist allerdings auf beliebige Raumdimensionen übertragbar.

Abbildung 28

Das von der gestrichelten Linie umrundete Gebiet R ist von einer Familie von Kurven mit u=const. und v=const. überdeckt. Das Integral (I) einer auf diesem Gebiet definierten Funktion von zwei Variablen ist . Wollen wir dieses Intergral in neuen Koordinaten als Funktion ausführen, so müssen nicht nur die neuen Koordinaten und als Funktion ausgedrückt werden, auch das Flächenelement in kartesischen Koordinaten muss umgerechnet werden.

Die Verbindung zwischen und kann man erkennen, wenn man das uv-Gitter in Abb. 28 betrachtet. Das Parallelogramm KLMN ist das Flächenelement in den neuen Koordinaten. Entlang der Verbindungslinie K-L ist v Konstant und u ändert sich, aber auch die Werte der kartesischen Koordinaten ändern sich und man erhält , wobei hier ist. Ein ähnlicher Ausdruck ist uns mit Gl. (83) bereits bekannt. Dort war die Höhenänderung (dz) der Funktion wenn sich x um dx ändert und y konstant bleibt. Analog dazu bedeutet die Änderung der x- Koordinate, wenn sich u um du ändert. Diesen kleinen Weg K-N kann man auch durch einen aus drei Komponenten bestehenden Vektor darstellen.

Entsprechend ist entlang des Weges K-N die neue Variable u konstant und diese Wegstrecke können wir durch den Vektor darstellen. Die beiden Vektoren spannen das Parallelogramm KLMN auf, dessen Flächeninhalt sich durch den Betrag des Vektorproduktes wie folgt ausdrücken lässt:

bzw. .

Der letzte Ausdruck wiederum ist proportional zur Determinante der 2x2 Jacobi-Matrix . Es ist also .

Carl Jacobi, 1804 - 1851

 

Damit wird unser Intergral

. Hieraus erhalten wir
(91)

Dies ist die allgemein gültige Rechenvorschrift zum Transformieren von Koordinaten.

Um nun z. B. das Flächenelement in Polarkoordinaten umzurechnen, muss zuerst eine Zuordnung der zu transformierenden Koordinaten getroffen werden, d. h., es müssen die Polarkoordinaten r und den Koordinaten u und v zugeordnet werden.

Anhand Abb. 28 ist die Koordinate u à r und v à zuzuordnen. Es geht natürlich auch umgekehrt, jedoch bedeutet letzteres eine Vertauschung der Variablen in der Matrix, so dass gemäß den Rechenregeln die sich dann ergebende Determinante mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist. Es ergibt sich dann das gleiche Ergebnis.

Dann muss in jedem Fall als nächstes berechnet werden. Hierbei ist die Ableitung der Funktion nach r, weil für u der Radius r eingesetzt wurde. Damit muss die Ableitung der Funktion nach sein, weil für v der Winkel eingesetzt wurde.

Es ergibt sich und sowie und .

Somit ist .

Mit und ergibt sich aus Gl. (91) der Ausdruck , den wir aus Gl. (90) bereits kennen.