9. Umlauf in drei Dimensionen

9.1. Transformation kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten

Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass zur Herleitung einer Wellenfunktion mit Kugelkoordinaten für den Gesamtdrehimpuls eines Teilchens, das auf einer Kugeloberfläche umläuft, der Ausdruck von kartesischen Variablen in Kugelkoordinaten zu transformieren ist. Hierbei ist der Ortsvektor in drei Dimensionen und der Nablaoperator-Vektor in drei Dimensionen.

Im zweiten Abschnitt wird dann diese Berechnung explizit durchgeführt.

 

In den vorangegangenen Kapiteln hatten wir für die Bewegung eines Teilchens der Masse (m) entlang einer Achse in Gl. (14) den Impulsoperator bestimmt. Hierauf aufbauend wurde in Gl. (21), über das Rechenmodell „Teilchen in einem eindimensionalen Kasten“, die Schrödinger-Gleichung entwickelt. Hierbei sind wir mit dem Begriff des Energieniveaus in Berührung gekommen.

 

Dann hatten wir für ein Teilchen, das sich in einer x-y-Ebene frei bewegen kann, über das Rechenmodell „Teilchen in einem zweidimensionalen Kasten“, analog zum vorhergehenden Modell, da die beiden Koordinaten gleichberechtigt sind, in Gl. (41) die Schrödinger-Gleichung als Ansatz gewählt.

 

Danach wurde ein Teilchen betrachtet, das in einer x-y-Ebene auf einer Kreisbahn umläuft. Wir hatten hierfür in Gl. (70) den Drehimpulsoperator hergeleitet, den wir mit wenigen Umformungen in Gl. (75) in Polarkoordinaten zu transformierten. Hieraus erhielten wir in Gl. (81) die Schrödinger-Gleichung , wobei das Zeichen eingeführt wurde, das für den „Nabla-Operator“ steht .

Entsprechend gilt für die zweite Ableitung , wobei und der Laplace-Operator ist.

Pierre Laplace, 1749 - 1827

An dieser Stelle empfiehlt es sich, auf eine wichtige Rechenregel für das Quadrieren von Operatoren hinzuweisen, die wir später noch brauchen werden.

Aus Gl. (11) erhielten wir für die zweite Ableitung der Wellenfunktion den Ausdruck , wobei sich aus Gl. (14) ergab.

Wenn wir nun diesen Ausdruck aus Gl. (14) in vg. Gl. (11) einsetzen, so erhalten wir bzw. , und wir können für den Operator des Impulsquadrats schreiben

(91a).

Wenn wir jedoch Gl. (14) quadrieren, so ergibt sich die Schreibweise:

. Offensichtlich darf nun dieser Ausdruck nicht als berechnet werden. Zu berechnen ist nach Gl. (91a) . Diese beim Quadrieren des Impulsoperators anzuwendende Vorgehensweise bringt zum Ausdruck, dass auf den für sich ergebenden Ausdruck die Rechenregel anzuwenden ist. Diese hier leicht einzusehende Rechenregel gilt allgemein für die Multiplikation von Operatoren. Wir haben Sie bereits in Gl. (18) bei der Kommutatorberechnung des Orts- und Impulsoperators angewendet. Wir merken uns daher, dass in solchen Fällen zunächst der durch Multiplikation sich ergebende Ausdruck aufzuschreiben und als nächstes, anstelle der Multiplikation, der gesamte Term, der rechts neben der ersten Ableitungsvorschrift steht, zu differenzieren ist. Diese Methode wird uns in Gl. (111a) wieder begegnen.

Analog schreiben wir für die x,y-Ebene . Mit wird Gl. (41) zu .

Wir erweitern diese Gleichung noch mit und erhalten zusammen mit Gl. (75) . Es ist also und damit nach Division durch

(92)

Damit ist klar, dass das Quadrat des Drehimpulsoperators in die Schrödinger-Gleichung eingeht.

Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir jetzt unsere Überlegungen weiterführen und ein Teilchen betrachten, das sich frei auf der Oberfläche einer Kugel bewegen kann. Da diese Bewegung in drei Dimensionen als „Umlauf“ um den Atomkern den Elektronen zukommt, ist dieses Rechenmodell geeignet, die Realität abzubilden. Bevor wir jedoch hier fortfahren, empfiehlt es sich für die Behandlung dieses Umlaufs das Kugel-Koordinatensystem einführen. Die Transformation von kartesischen Variablen zu Kugelkoordinaten erfordert jedoch einiges mehr an Rechenaufwand, als die Transformation in Polarkoordinaten. Aufbauend auf den mathematischen Werkzeugen (Kapitel 8) wird der Rechengang ausführlich erläutert. Wenn wir diese umfangreiche Transformationsrechnung hinter uns haben, sind die wesentlichen Grundlagen geschaffen, um die quantenmechanischen Berechnungen zum Wasserstoffatom zu verstehen.

Wir beginnen also mit der geometrischen Bedeutung der Kugelkoordinaten, die in der folgenden Abbildung dargestellt ist (vgl. Abb. 21).

 

 

Abbildung 29

Es ist zu erkennen, dass . Da zudem und , ist bzw. . Mit ergibt sich bzw. .

Da bzw. ist, ergibt sich hieraus der Ausdruck . Mit erhalten wir bzw. . Durch Einsetzen von a in vg. Ausdruck für x bzw. y erhalten wir bzw. . Wir können also schreiben:

(93)

Wir werden diese Transformationsformel auf den Drehimpuls anwenden. Die Lage der Koordinaten ist in ng. Abbildung nochmals veranschaulicht.

Abbildung 30

Der in Gl. (69) aus den Ansätzen der klassischen Mechanik hergeleitete Ausdruck für den Drehimpuls eines Teilchens der Masse () auf einem Ring mit Radius r in der x-y- Ebene ergibt sich auch, wenn wir den Drehimpuls als Vektor mit dem Betrag auffassen, der senkrecht auf der Ebene der Bewegung steht. Es ist dann der Ortsvektor und der Impulsvektor des rotierenden Teilchens in der Umlaufebene.

Drehimpuls eines Teilchens als Vektor

Abbildung 31

Die Länge des Vektors gibt den Betrag des Drehimpulses an. Für einen Beobachter, der in Richtung des Vektors blickt, erfolgt die Bewegung des Teilchens im Uhrzeigersinn (siehe hierzu auch Abb. 15 und 29).

Aus den Gl. (87 und 88) der Vektorrechnung kennen wir den Ausdruck . Aufgrund dieser Übereinstimmung können wir für die Transformationsrechnung die Regeln der Vektorrechnung anwenden. Da wir den Drehimpuls eines Teilchens suchen, das sich in drei Dimensionen bewegt, tritt zu den x-y-Achsen noch die z-Achse hinzu. Wir schreiben daher

(94)

Damit liegen uns alle Drehimpulskomponenten vor. Die Komponente steht in der 3.Zeile und ist uns bereits bekannt.

Geometrisch bedeutet dieses Ergebnis nichts anderes als Vertauschen (Drehen) der Koordinatenachsen. Die Drehrichtung ist unerheblich. Bei Drehung im Uhrzeigersinn mit Blick von oben auf die Umlaufebene ergibt sich entsprechend Abb. (29) aus der ursprünglichen z-Achse die neue x-Achse, aus der ursprünglichen y-Achse die neue z-Achse und aus der ursprünglichen x-Achse die neue y-Achse. Da die Umlaufebene zeichnerisch an der gleichen Stelle belassen wurde, bewegt sich das Teilchen auf einer Kreisbahn nun in der neuen z-y-Ebene, und der Drehimpulsvektor zeigt in die neue x-Richtung. Es ergibt sich entsprechend aus ursprünglich nun .

Werden die Koordinaten ein weiteres Mal vertauscht, so wird aus der ursprünglichen z-Achse die neue y-Achse, aus der ursprünglichen y-Achse die neue x-Achse und aus der ursprünglichen x-Achse die neue z-Achse. Das Teilchen läuft also auf der neuen z-x-Ebene um, und der Drehimpulsvektor zeigt in Richtung der neuen y-Achse. Es ergibt sich entsprechend aus ursprünglich nun . Mit dieser einfachen Überlegung haben wir wiederum bestätigt, dass der Drehimpuls als Vektorprodukt aus Orts- und Impulsvektor aufgefasst werden kann.

Folglich ergibt sich aus unserem Ausgangspunkt in Gl. (70) für den Drehimpulsoperator eines auf der x-y-Ebene umlaufenden Teilchens der Ausdruck

(95)

Hierbei ist und . Beide Ausdrücke sind uns schon mehrfach begegnet. Durch Einsetzen in Gl. (95) erhalten wir

, womit sich wieder die Ausgangsgleichung ergibt.

Der Vorteil der Schreibweise nach Gl. (95) liegt in der prägnanten Kürze, erfordert jedoch Kenntnisse aus der Vektorrechnung. Es wird sich noch zeigen, dass es sich lohnt diese hier einzusetzen, denn gerade mit der vektoriellen Darstellung des Drehimpulses gelingt der Übergang von kartesischen Variablen zu Kugelkoordinaten auf elegantem Wege.

Analog gilt natürlich auch für den Umlauf in drei Dimensionen. Es tritt dann zu den x-y-Achsen noch die z-Achse hinzu. Ausmultiplizieren führt wieder zu Gl. (94).

Wir wollen noch einmal kurz auf den Nablaoperator in Gl. (95) zurückkommen. Aus Gl. (84) wissen wir, dass aus der Multiplikation des Betrags einer Zahl mit dem Einheitsvektor ein neuer Vektor mit gleicher Richtung entsteht. Dort ergab sich z. B. . Analog dazu können wir auch den Nablaoperator als Vektor darstellen. Es ist dann, z. B. für die x-Achse, und es ergibt sich . In gleicher Weise können wir mit der y- und z-Achse verfahren. Somit erhalten wir den Ausdruck

(96)

Der Gesamt-Drehimpuls bei Umlauf über eine Kugeloberfläche ist also

 

(97)

 

Nach Gl. (92) geht das Drehimpulsquadrat in die Wellengleichung ein. Da wir die Wellenfunktion des Gesamt-Drehimpulses in Kugelkoordinaten suchen, müssen wir Gl. (97) quadrieren. Somit lautet die in Kugelkoordinaten darzustellende Formel

(98)

Aufgrund der prägnanten Schreibweise und der nicht alltäglichen Aufgabe, ein Kreuzprodukt zu quadrieren zu müssen, werden die Gl. (97) und Gl. (98) auch auf der Titelseite erwähnt. Nunmehr ist die weitere Aufgabenstellung klar. Es ist der Ausdruck in Kugelkoordinaten darzustellen und in die Wellengleichung nach Gl. (92) als einzusetzen. Daher wurde auf diesen Aufgabe schon in der Einleitung zu diesem Kapitel Bezug genommen. Im folgenden Kapitel wird nun die Berechnung explizit durchgeführt.

9.2. Durchführung der Koordinatentransformation

9.2.1. Herleitung einer allgemein gültigen Transformationsformel

Die Transformation von einem kartesischen Koordinatensystem in ein allgemeines krummliniges Koordinatensystem ist gegeben durch

(99)

Die Änderung als Folge einer kleinen Änderung ergibt sich als Änderung aus der partiellen Ableitung der Funktion mit den unabhängigen Variablen zu

(100)

Jede dieser Änderungen liegt in Richtung der neuen Einheitsvektoren entsprechend der folgenden Abbildung. Es ist sofort zu erkennen, dass sich mit jeder Änderung einer Koordinate sofort auch Punkt P verschiebt, womit sich die Richtung des zugehörigen Einheitsvektors ändert.

Abbildung 32

Die Einheitsvektoren im neuen System lassen sich schreiben als

(101)

Da die Ausdrücke für die Ableitungen nicht Null sind, mussten Normierungsfunktionen eingeführt werden, damit auch die neuen Einheitsvektoren definitionsgemäß mit Betrag „Eins“ erhalten bleiben. Es ist daher

(102)

Aus Gl. (101) erhalten wir den Ausdruck sowie und . Diese setzen wir in Gl. (100) ein und erhalten

(104)

Die Änderung einer beliebigen Funktion mit drei unabhängigen Variablen ergibt sich analog zu Gl. (100) über die partielle Ableitung zu

(105)

Diesen Ausdruck formen wir nun um. Da sich bei der skalaren Multiplikation der Einheitsvektoren sowie und ergibt, können wir Gl. (105) entsprechend erweitern und schreiben

. Diesen Ausdruck erweitern wir nun noch mit den Normierungsfunktionen aus Gl. (102) und erhalten

.

Sinn dieser Erweiterungen ist es, die einzelnen Ausdrücke zu bereits bekannten Ausdrücken umzuformen. Da die nun entstandenen Ausdrücke in den jeweiligen runden Klammern nach Gl. (104) Komponenten sind, die zugehören, lautet die Transformationsformel:

(106)

Zur Verdeutlichung der bestehenden Zusammenhänge führen wir noch eine kleine Nebenrechnung durch, indem wir die Ausdrücke der Normierungsfunktionen einsetzen. Es ergibt sich

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist adäquat zu Gl. (96). Somit ist .

 

9.2.2. Transformationsrechnung in Kugelkoordinaten

Führen wir nun die Transformationsrechnung explizit durch.

Wir transformieren . Es ist dann .

Als erstes bestimmen wir die drei Normierungsfunktionen. Es ist

und

.

Damit wir besser rechnen können quadrieren wir zunächst und es ergibt sich

Diese Normierungsergebnisse setzen wir nun in Gl. (106) ein und erhalten für die Funktion entsprechend der vg. Zuordnungsvorschrift für die Koordinatentransformation

(107)

Da in Kugelkoordinaten der Vektor ausschließlich in r-Richtung zeigt, gilt

(108)

Nun können wir Gl. (107) und Gl. (108) in Gl. (98) also in , einsetzen und einen weiteren Schritt der Berechnung ausführen. Es ergibt sich

Analog zu ist auch ,

analog zu ist auch und

analog zu ist auch . Somit erhalten wir

(108)

Wir stellen fest, dass dieser Ausdruck für den Drehimpulsoperator-Vektor nur noch die Winkelkoordinaten enthält. Da sich das Teilchen auf der Oberfläche einer Kugel bewegen soll, ist ja der Radius konstant, und die Differentiationen nach r verschwinden. Damit haben wir ein wichtiges Zwischenergebnis erzielt.

Zum besseren Verständnis der Rechenmethode wird hier noch eine kleine Nebenrechnung ausgeführt, um den Drehimpulsoperator-Vektor anzugeben. Dazu müssen wir die Ausdrücke für und für bestimmen. Die allgemeine Form ist uns aus Gl. (101) bereits bekannt. Es ergibt sich

(109)

(110)

Wir setzen nun diese Ausdrücke in Gl. (106) ein und erhalten

(111)

Dies ist der Ausdruck für den Drehimpulsoperator-Vektor.

Nach dieser kleinen Nebenrechnung fahren wir mit der Transformationsrechnung fort.

Wir erinnern uns nochmals, dass nach Gl. (92) das Quadrat des Drehimpulsoperator-Vektors in die Wellengleichung eingeht. Wir quadrieren daher den in Gl. (108) stehenden Ausdruck. Es ginge auch Gl. (109) zu quadrieren, jedoch sind aufgrund der Vektorrechnung einige Vereinfachungen möglich, die uns den Rechengang erleichtern werden. Es wird diese Multiplikation als Skalarprodukt der Vektoren gebildet. Es ergibt sich

Bevor wir nun die rechte Gleichungsseite ausmultiplizieren, erinnern wir uns an die Rechenmethode zur Bestimmung des Operators für das Impulsquadrat in Gl. (91a). Dem entsprechend schreiben wir zunächst den Ausdruck so hin, wie er sich aus der Multiplikation ergibt.

(111a)

Dann schreiben wir diesen Ausdruck so um, dass anstelle der Multiplikation der gesamte Term, der rechts neben der ersten Ableitungsvorschrift steht, differenziert wird.

(111b)

Nunmehr ist das Multiplikationszeichen entfallen. Stattdessen wurden die kleinen runden Klammern geschrieben. Diese Schreibweise soll zum Ausdruck bringen, dass auf den durch Quadrieren sich ergebenden Ausdruck in Gl. (111a) die Rechenvorschrift der Gl. (111b) anzuwenden ist. Daher darf die Reihenfolge der einzelnen Ausdrücke auch nicht durcheinander gehen.

Entsprechend dieser Vorgehensweise haben wir nun einen Ausdruck vor uns, der sich aus vier Termen zusammensetzt, die nochmals abzuleiten sind.

 

Term 1 ableiten nach gemäß :

Wir beachten die Produktregel. Es ist

bzw. und bzw. .

Es ergibt sich also .

Da und ist, erhalten wir für Term 1 den Ausdruck .

 

Term 2 ableiten nach gemäß :

Hier ist die mehrfache Produktregel zu beachten. Es ist

bzw. und bzw. und zudem bzw. .

Es ergibt sich also

Da und

, entfällt Term 2.

 

Term 3 ableiten nach gemäß :

Hier beachten wir die Produktregel. Es ist

bzw. und bzw. . Es ergibt sich also .

Da und

 

ist.

Wir erhalten daher für Term 3 den Ausdruck .

 

Term 4 ableiten nach gemäß :

Auch hier beachten wir die mehrfache Produktregel. Es ist

bzw. und bzw. und zudem bzw. . Es ergibt sich also

Da und sowie ist, erhalten wir für Term 4 den Ausdruck .

 

Wir fassen nun die obigen Terme zusammen und erhalten die Gleichung:

. Wir wenden nun noch auf den Ausdruck die Umkehrung der Produktregel an und erhalten . Diese „Umkehrung“ können wir leicht zurück rechnen, indem wir hier und einsetzen und dann die Produktregel erneut anwenden.

Damit ergibt sich endlich der gesuchte Ausdruck.

(112)

Diese Gleichung zeigt das Quadrat des Drehimpulsoperators in Darstellung mit Kugelkoordinaten. Es ist also nach Gl. (98) bzw. (113)

Nach dem rechten Teil der Gl. (92) gilt . Somit ist entsprechend Gl. (98)

(114)

Gl. (114) zeigt, wie eingeht. Wir stellen nun diese Formel um und erhalten für die Umlaufbewegung eines Teilchens über eine Kugeloberfläche die gesuchte Schrödinger-Gleichung

 

(115)

 

Nach Gl.(114) gilt also folgende Transformationsformel

 

(116)

 

Dieser letzte Ausdruck zeigt nun das mit Hilfe des Quadrats des Drehimpulses gewonnene Ergebnis unserer Koordinaten-Transformationen. Nach dieser umfangreichen Transformationsrechnung sind wir nun in der Lage, die Kugelflächenfunktionen zu bestimmen.