10. Kugelflächenfunktionen

Wenn man den Ausdruck aus Gl. (113) in Gl. (115) einsetzt, könnte man versucht sein zu erschrecken. Zum Glück kann aber der dann entstehende Ausdruck

(117)

ohne Probleme vereinfacht werden. Außerdem ist auf der Oberfläche der Kugel das Potenzial und wurde daher in Gl. (115) nicht mehr aufgeführt.

Wie wir bereits festgestellt haben, ist Gl. (117) eine partielle Differentialgleichung in den beiden Winkelkoordinaten und , die sich in zwei einfache Differentialgleichungen separieren lassen. Wir schreiben also

(118)

Hierbei soll die Funktion nur eine Funktion von und die Funktion nur eine Funktion von sein. Durch Einsetzen von in Gl. (117) entsprechend der gleichen Vorgehensweise wie bei Gl.(42) erhalten wir . Wir dividieren nun beide Seiten durch . Damit ergibt sich der Ausdruck . Mit bzw. und erweitern mit können wir schreiben

(119)

Der erste Term ist jetzt nur noch eine Funktion von und der zweite Term hängt nur noch von ab. Wir argumentieren auch hier wie bei Gl. (42) um zu beweisen, dass der zweite Term gleich einer Konstante sein muss. Wir bezeichnen die Konstante mit . Die Separation ist somit geglückt, und wir erhalten nach wenigen Umformungen die beiden folgenden einfachen Differentialgleichungen, die jetzt zu lösen sind:

(120)

Nach Erweitern der Gl. (119) mit ergibt sich

. Mit gilt

und nach Division durch erhalten wir

(121)

Gl. (120) gilt für in Teilchen auf einem Ring. Die zyklischen Randbedingungen sind ebenfalls identisch, so dass wir analog zu Gl. (82) die Lösung hier direkt angeben können gemäß

mit (122)

Da die Quantenzahl aber jetzt auch der zweiten Differentialgleichung Gl. (121) auftaucht, müssen wir darauf achten, ob sich durch die Randbedingungen für eine Einschränkung der erlaubten Werte für ergibt.

Die Differentialgleichung Gl. (121) wurde von Mathematikern ausgiebig untersucht. Durch die Substitution und bringen wir sie in die Standardschreibweise, wobei eine dimensionslose Zahl ist, die sich bald als Quantenzahl entpuppen wird. Es gilt . Damit wird aus der Differentialgleichung Gl. (121)

der Ausdruck

bzw.

und hieraus

. Mit erhalten wir

. Da gilt

erhalten wir schließlich den Ausdruck

(123)

Diese Gleichung ist in dieser Schreibweise als assoziierte Legendre - Gleichung bekannt (da sie zu einer anderen Gleichung gehört, die ebenfalls Legendres Namen trägt).

Adrien Legendre, 1752 - 1833

 

Sie besitzt unter zwei Bedingungen Lösungen die eindeutig sind und nicht unendlich werden: 1. und 2. . Akzeptable Lösungen existieren also nur für nichtnegative ganzzahlige Werte von , und der Betrag der Quantenzahl darf nicht größer sein als (dies ist bereits die erwähnte Einschränkung des Wertebereichs von ). Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann sind die Funktionen , die wir dann besser mit bezeichnen, die assoziierten Legendre-Polynome. Sie können durch Sinus- und Cosinus- Funktionen ausgedrückt werden. Man bezeichnet sie als Kugelflächen-Funktionen. Die mathematische Herleitung dieser Funktionen ist hier nicht angegeben.

Einige Funktionen sind in ng. Tabelle aufgeführt.

0	0
1	0
1
2	0
2
2
3	0
3
3
3

 

Die Amplituden an verschiedenen Punkten der Kugeloberfläche sind in Abb. (33) schematisch dargestellt.

Abbildung 33

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichten für ein Teilchen auf einer Kugeloberfläche. Die Zahl der Knoten (Nulldurchgänge der Wellenfunktion) wächst mit steigendem , ihre Lage wird durch festgelegt.

Die Energie eines Teilchens kann die Werte mit annehmen. Die Energie ist quantisiert und hängt nicht von ab. Da es Wellenfunktionen zu jedem Wert von gibt (eine für jedes ), ist das Energieniveau mit der Quantenzahl gerade -fach entartet. Entsprechend ist der Drehimpuls gequantelt und auf die Werte mit beschränkt.