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Plattenkondensator

Wir wollen im folgenden die Energie (E) des elektrischen Feldes berechnen, das sich zwischen zwei großflächigen Platten ergibt, die zueinander im beliebigen Abstand (L) parallel stehen und auf jeder Teilfläche (A) mit einer beliebigen elektrischen Ladung (Q) entgegengesetzt aber gleichstark geladen sind.

1. Die Stärke (H) des zwischen den Platten befindlichen elektrischen Feldes kann durch eine Kraft (F) ausgedrückt werden, die auf die Ladung (Q) in diesem Feld wirkt. Es ist

H = F/Q

Die Feldstärke (H) ist somit das Verhältnis der auf eine im Feld befindlichen Ladung (Q) wirkenden Kraft (F) zur Größe dieser Ladung. Vg. Formel ist für das Verständnis der nachfolgenden Dimensionsrechnungen mit elektrischen Größen wichtig. Es wird die Kraft in Newton (N) und die Größe der Ladung in Coulomb (C) angegeben. Es entspricht 1C der gigantischen Ladungsmenge (Q) von 6,2·1018 Elektronen (e)! Demnach ist der Ausdruck N/C ein erstes Maß für die Feldstärke. Da in inhomogenen Feldern die Kraft (F) örtlich verschieden ist, liefert vg. Gleichung nur bei homogenen Feldern, also bei überall gleicher Kraft, die für das gesamte Feld geltende Feldstärke (H).

2. Zugleich bestimmt aber auch die auf einem geladenen Körper, z. B. den Platten eines Kondensators, gebundene Menge an Ladung (Q) die Größe der zwischen den Platten herrschenden Feldstärke (H). Die je Flächeneinheit gebundene Ladungsmenge (Q) wird als Verschiebungsdichte (D) bezeichnet. Die Verschiebungsdichte ist das Verhältnis der gebundenen Ladung (Q) zur Größe der beladenen Fläche (A). Bei gleich verteilter Ladung ist

D = Q/A

Die Verschiebungsdichte (D) entspricht somit der Ladungsdichte (C/m²). Durch Umstellen vg. Formel ergibt sich Q=D·A. Den Ausdruck D·A bezeichnet man auch als Verschiebungsfluss. Dies bedeutet, dass Ladungsmenge (Q) und Verschiebungsfluss (D·A) identisch ist!

3. Da aber die Ladungsmenge (Q) auch die Größe der Feldstärke (H) bestimmt, müssen Verschiebungsdichte (D=Q/A) und Feldstärke (H) zueinander proportional sein. Es ist

e0 = D/H

Je größer die Ladungsdichte (D) ist, umso größer ist auch die elektrische Feldstärke (H). Dabei stehen Ladungsdichte und Feldstärke in einem bestimmten Verhältnis zueinander. Dieses Verhältnis wird als Influenzkonstante oder Verschiebungskonstante (Verschiebefähigkeit der Ladungen) im Vakuum bezeichnet (e0). Es hat e0 daher die Dimension C/m²·C/N=C²/m²N.

4. Die gesamte Ladungsmenge (Q) wird nicht schlagartig, sondern innerhalb einer bestimmten Zeit (T) auf die Platten übertragen. Im Mittel der Übertragungszeit (T) stellt sich der Stromfluss (I) ein gemäß I=Q/T. Diesen Stromfluss bezeichnet man auch als Stromstärke. Die Stromstärke wird in Amperesekunden (As) angegeben. Da Q=I·T ist, gilt somit 1C=1As. Mit D=e0·H können wir schreiben Q=e0·H·A bzw.

H = Q/(e0·A)

Wir halten hier fest, dass sich über die Feldstärke (H) die Dimensionsgleichung N/C=N/As ergibt und dass sich über die Dimensionsrechnung N/As=As/e0m² für die Influenzkonstante e0 nun die Dimension (As)²/m²N ergibt.

5. Das Übertragen von Ladung (Q) auf einen Körper (Platte) stellt einen Stromfluss (I=Q/T) dar. Dieser Fluss kommt, wie die Ursache eines jeden elektrischen Stromes nur zustande, wenn zwischen der aufzuladenden Platte und der Stromquelle eine Kraft wirkt, die diesen Stromfluss verursacht: Am Minuspol der Stromquelle besteht ein Elektronenüberschuss, am Pluspol ein Elektronenmangel. Beide Zustände werden durch Vorgänge im Inneren der Stromquelle erzeugt und aufrecht erhalten. Diesen Vorgang nennt man elektromotorische Kraft oder Spannung (U). Die Elektronen fließen aufgrund dieser Spannung zwischen den beiden Polen, vom Minuspol zum Pluspol. Die Spannung wird in der Einheit Volt (V) angegeben. Diese Spannung dividiert durch den Abstand (L) der beiden Platten ergibt einen weiteren Ausdruck für die elektrische Feldstärke (H) eines homogenen Feldes. Es ist auch

H = U/L

Es hat die Feldstärke (H) hier die Dimension V/m=N/C. Somit ist 1V=1Nm/C=1Nm/As. Mit S=Q/e0A=U/L ergibt sich dann

U = Q/e0·L/A

Diese Formel zeigt die Abhängigkeit der Spannung (U) von der Größe der Ladungsmenge (Q) und der Geometrie (L, A) des Plattenkondensators. Es hat e0 hier die Dimension (C/Vm=As/Vm). Somit ist dieser Ausdruck gleich (As)²/m²N! Folglich ist As/Vm=(As)²/m²N bzw. (As)m²N=(As)²Vm und somit mN=AsV. Demnach ist wiederum 1V=1Nm/As bzw. 1V=1Nm/C und es ergibt sich 1V=1J/C (1J=1Ws)!

6. Die durch den Aufladevorgang einer Platte erzielte Spannung (U) ist proportional der zugeführten Ladungsmenge (Q). Diesen Proportionalitätsfaktor nennt man Kapazität (K). Die Kapazität ist die Fähigkeit der Platte, Ladung zu speichern. Es ist

K = Q/U

Die Kapazität hat somit die Dimension As/V=Farad (F). Mit K=Q/U, Q=D·A und U=H·L ergibt sich K=D·A/U=D·A/(H·L). Da D=e0·H ist, können wir schreiben K=e0·H·A/(H·L), womit sich für die Kapazität des Plattenkondensators (K) der Ausdruck ergibt.

K = e0·A/L

Die Formel zeigt, dass die Kapazität (K) von der Größe der Platten (A) und ihrem Abstand (L) sowie dem Material abhängt, das sich zwischen den Platten befindet. Wir unterstellen hier weiterhin Vakuum. Die Kapazität ist somit allein abhängig von der Geometrie des Plattenkondensators.

7. Das Aufladen der Platten erfordert, dass während der ganzen Aufladezeit eine Spannungsquelle zur Verfügung steht. Durch das Aufladen erhöht sich die Ladungsmenge auf der einen Platte. Dadurch vergrößert sich die Spannung (U) zwischen den beiden Platten. Zu Beginn des Aufladevorganges ist diese Spannung Null, weil noch keine Ladungsmengen (Q) übertragen wurden. Erst am Ende der Aufladezeit (T) ergibt sich die volle Spannung (U). Durch das Aufladen wird somit eine mittlere Aufladespannung von ½U auf die Platte übertragen. Die hierzu verrichtete Aufladearbeit (W) beträgt W=½U·Q. Da Q=K·U ist, können wir schreiben

W = ½U²·K

Die Formel zeigt, dass die Auflade-Endspannung nur hälftig wirksam ist.

8. Damit haben wir alle Grundlagen zusammen, um die Feldenergie zwischen dem Plattenpaar zu bestimmen. Mit U=Q/e0·L/A und K=e0·A/L ergibt sich W=½[Q/e0·L/A]²·(e0·A/L). Die Energie des elektrischen Feldes zwischen den Platten (E) entspricht aber genau der Aufladearbeit (W), die zum Aufbau des Feldes aufgewendet wurde, denn die elektrische Feldenergie wird beim Zusammenbrechen des Feldes wieder in Arbeit umgewandelt. Mit E=W ergibt sich somit die elektrische Feldenergie (E) zwischen zwei großflächigen Platten, die zueinander im beliebigen Abstand (L) parallel stehen und auf jeder Teilfläche (A) mit einer elektrischen Ladung (Q) gegeneinander geladen sind, zu:

E = ½Q²/e0·(L/A)

Hierbei bedeuten:

Q Oberflächenladung in As

e0 Influenz – bzw. Dielektrizitätskonstante im Vakuum = 8,854188·10-12 As/Vm

L Plattenabstand in m

A Plattenfläche in m²

Dieses ist die Lehrbuchformel, die auch im Physikunterricht in der Schule behandelt wird. Wir haben diese Formel auf dem vorstehend beschriebenen experimentellen Wege hergeleitet.

Die elektrische Ladung (Q) ist in Elementarladungen (1e) gequantelt. Eine Elementarladung (1e) besitzt den Messwert 1,6021773 · 10-19 As. Träger der positiven Elementarladung (e+) ist das Proton; das Elektron „trägt“ eine negative Elementarladung (e-). Der Vorfaktor „½“ rührt daher, dass die hälftige Platten - Endspannung maßgebend für die Aufladearbeit ist. Offensichtlich ist das Auftreten des Vorfaktors „½” aber in noch tiefer liegenden Ursachen begründet. Wir schreiben daher obige Schulformel für den Plattenkondensator so um, dass sich der Vorfaktor „½” unmittelbar auf die elektrische Ladung (Q) selbst bezieht! Es ergibt sich dann bei gleicher Feldenergie der Ausdruck:

E = (½Q)²/e0·(L/½A)

Der Umstand der hälftig wirksamen Ladung, z. B bei Q=1e gemäß (½e)² bedarf natürlich einer grundsätzlichen Bewältigung, der wir uns nicht dadurch entziehen wollen, dass wir nun den Faktor schnell wieder herauskürzen. Durch die Bezugnahme des Vorfaktors „½” auf die Ladung selbst tritt nun eine nur noch hälftig wirksame Plattenfläche in Erscheinung! Gerade dieser Ansatz steht jedoch in vollem Einklang mit der Beobachtung, dass nur die hälftige Platten - Endspannung wirksam ist. Viel schwieriger wäre es doch erklären zu wollen, auf welche der beiden Elementarladungen des Produktes „e·e“ sich der Vorfaktor „½“ denn wohl bezieht oder gar zu unterstellen, auf beide gleich, gemäß (½)½ um dann zeigen zu wollen, wo die Wurzel herkommt. Aber gerade das Nichtstellen solcher einfacher Fragen war auch schon das Problem bei der Herleitung der Schwerkraft: Mit der Gravitationskonstanten gelang eine offensichtlich beruhigende Verkürzung, denn die Zusammenhänge wurden dadurch derart entfremdet, dass das eigentliche Problem, eine Ursache für die Gravitation zu finden, gar nicht erst auftauchte. Newton, der vom Plank’ schen Wirkungsquantum noch nichts wusste, ist hier sicherlich kein Vorwurf zu machen!

Damit haben wir unsere Schulkenntnisse wieder aufgefrischt. Zugleich haben wir mit der getroffenen Erweiterung der Schulformel um den Faktor „½“ auch die notwendige Sensibilität, um uns in die Welt des Elektrons vorzuwagen. Ausgehend von vg. Formel für den Plattenkondensator, welche die im Alltag beobachteten Zusammenhänge zum Ausdruck bringt, beginnen wir nun mit unseren eigentlichen Überlegungen.