Das gequantelte Kugelfeld

Es ist nun noch zu klären, warum im mikroskopischen Bereich, also im Außenbereich des Elektrons, der beobachtete Elektron - Magnetfluss um den Faktor 1/j größer erscheint, also F_e=h_s / ½e·2p·(1/j) beträgt! Im folgenden wird geklärt, wie es zu diesem Phänomen kommt. Wir betrachten hierzu die elektrostatische Energie des kontinuierlichen (klassischen) elektrischen Kugelfeldes (hier wird der Einfluss der Dicke (d) der einzelnen Kugelschalen vernachlässigt) und die Feldenergie des gequantelten (elementaren) elektrischen Kugelfeldes (hier wird der Einfluss der Dicke (d) der einzelnen Kugelschalen nicht vernachlässigt). Anschließend vergleichen wir die erzielten Ergebnisse mit dem statischen Elektron – Feld.

· Das kontinuierliche elektrische Kugelfeld

Nehmen wir an, dass eine Kugel mit dem beliebigen Radius d₀ mit der elektrischen Ladung Q oberflächengeladen ist. Konzentrisch zur Kugel liegt eine Kugelschale mit dem inneren Radius r_i und dem äußeren Radius r_a. Die Schalendicke ist d=r_a-r_i; der mittlere Radius r_n ist ½·(r_a+r_i). Im klassischen Fall mit quadratisch-abnehmender Feldstärke (H), ergibt sich die Feldenergie E_n in dieser n. Kugelschale in Anlehnung an die im Kapitel „Erzeugung der elektrischen Feldenergie“ hergeleiteten Formel zu E_n=(½Q)²/2pe₀·[(r_a-r_i)/(r_a·r_i)] bzw. zu E_n=Q²/8pe₀·d/(r_n²-d²/4).

Nehmen wir des weiteren an, dass der ganze Raum, vom Radius d₀ bis unendlich, in konzentrische Kugelschalen unterteilt ist, welche alle die gleiche Schalendicke d besitzen. Die n. Kugelschale ist dann das zwischen r_i=d₀+nd-d und r_a=d₀+nd eingeschlossene Volumen. Der mittlere Radius zwischen r_i und r_a ist damit r_n=d₀+nd-½d. Setzen wir nun zur Vereinfachung d/d₀ =D, so ergibt sich für die n. Schale der mittlere Radius r_n=d₀(1+nD-½D) und die dazugehörige Kugel-Oberfläche O_n=4pr_n². Ohne das mit D®0 vernachlässigbare Glied d²/4=d₀²·D²/4, wird r_a·r_i zu r_n²=d₀²(1+nD-½D)² und die Energie der n. Schale zu E_n=Q²/8pe₀·d/r_n² bzw. zu E_n=Q²/8pe₀·D/(1+nD-½D)².

Die gesamte elektrostatische Feldenergie E=₁SE_n der mit Q geladenen Kugel des Radius d₀ ist die Summe über alle Schalenenergien gemäß E=Q²/8pe₀d₀·₁SD/(1+nD-½D)². Mit einer Schalendicke d klein gegen den Kugelradius d₀, d h. mit D®0, wird die D-Summe von n=1 bis n=¥ gleich 1. Damit ergibt sich die klassische Kugelkondensatorenergie für das kontinuierliche Feld zu

E = (½Q)²/2pe₀d₀

Die Formel zeigt, dass der Allgemeinfall des elektrischen Kugelfeldes durch zwei voneinander unabhängige Längen d₀ und d (bzw. d₀ und D) bestimmt ist. Speziell für das kontinuierliche, klassische Feld entartet die eine Länge d (bzw. D) zu Null, so dass nur noch die Größe d₀ des Kugelradius bestimmend ist.

· Das gequantelte elektrische Kugelfeld

In einem Feld mit Längenquantelung ist zwar ebenfalls nur noch die eine Länge d₀ des Kugelradius bestimmend, aber die andere Länge, d. h. die Dicke d, verschwindet nicht. Diese Dicke wird gleich dem Radius d₀ gemäß D=1. Es wird damit aber auch der Abstand der die maßgeblichen Kugelflächen O_n bestimmenden Radien voneinander gleich d₀. Diese Bedingung wird nur von den Mittelradien r_n eindeutig erfüllt. Es ist r_n=d₀(1+n-½)=d₀(n+½) und die dazugehörige Oberfläche O_n=4pr_n². Damit ergibt sich die Energie der n. Kugelschale zu E_n=Q²/2e₀·d/4pr_n² bzw. E_n=Q²/8pe₀d₀·(n+½)^-². Die gesamte Feldenergie E des gequantelten Feldes wird damit zu E=₁SE_n=Q²/8pe₀d₀·₁S(n+½)^-² bzw. zu

E = (½Q)²/2pe₀d₀·j

Diese Formel zeigt, dass sich allein durch die Quantelungsbedingungen, unabhängig der Größe von d₀ und Q, die gequantelte Kugelfeldenergie zu j-fach, der klassischen Kugelfeldenergie ergibt. Weil bei Kugelladungen mit großem Q auf großen Radius d₀ dieser Faktor nicht auftritt (der klassische Integralfaktor bzw. Summenfaktor mit D®0 ist 1), ergibt sich die Frage, mit welchem Q und auf welchem d₀ ist diese Quantelung tatsächlich gegeben. Wie wir im folgenden Abschnitt sehen werden, ist diese Quantelung beim Elektron gegeben!

· Das elektrostatische Elektron - Kugelfeld

Ist die allgemeine Oberflächenladung Q einer Kugel mit Radius d₀ gleich der Elementarladung e des Elektrons, so ergibt sich die Energie E des gequantelten Feldes zu E=e²/8pe₀d₀·j bzw. zu E=je²/4pe₀·1/2d₀. Umgekehrt ist der zu einer Feldenergie E gehörende Radius d₀ bestimmbar gemäß der Formel d₀=je²/(8pe₀E). Speziell für das Elektron ist hierbei die statische Elektron – Massenenergie (E=E_es=h_s/t=h/t·ja/4p) zu setzen, weil der magnetische Feldanteil E_em einem ganz andersgearteten Feld zugehört. Damit ergibt sich d₀=je²/8pe₀·1/(hc/l·ja/4p). Mit e²=ahc2e₀ ergibt sich der Ausdruck d₀=jahc2e₀/8pe₀·1/hc·l·4p/ja und damit d₀=1l.

Somit entspricht der Radius der Elektronkugel d₀ der Elementarlänge 1l. Dieses Ergebnis besagt, dass das elektrostatische Elektronfeld genau die gleiche l - Schalenstruktur hat wie das Massenfeld des Protons mit der Elementarmasse m. Demnach ist die Elektronmasse, wie im Kapitel „Erzeugung der elektrischen Feldenergie“ zugrundegelegt, abgesehen von dem nur 0,34% großen Magnetmassenanteil, voll die Verkörperung seiner eigenen elektrostatischen Feldenergie.

Dieses elektrostatische Feld ist mit l gequantelt und deshalb durch den universellen Feldsummenfaktor (j) modifiziert. Überhaupt sind alle Längen in diesem Elementarfeld gleich 1l und zwar der Radius der oberflächengeladenen Kugel, die Dicke der gequantelten Kugelschalen und der Abstand der maßgeblichen Kugelschalen r_n voneinander.

Dieses Ergebnis bestätigt die Quantelung des Elektron - Innenraumes in Z-fach 1l - dicke Kugelschalen und damit auch die im Kapitel "Entstehung des Magnetflusses" gemachten Aussagen.