Alle n Bahnen des Wasserstoffatoms

Schalenmodell des Atoms

Bevor wir uns nun mit den einzelnen Schalen näher beschäftigen, wollen wir uns bzgl. des Schalenmodells noch einmal an unsere Schulkenntnisse erinnern:

Das Schalenmodell des Atoms geht auf Nils Bohr zurück. Mit genialen Annahmen postulierte er bereits 1913 die Bahnquantenbedingung (s. Kapitel „Bahnwirkung“) und die Frequenzbedingung (s. Kapitel „Energieabgabe und Frequenzspektrum“).

Die Elektronbahnen oder - schalen werden von innen nach außen (nach dem Pauliprinzip) aufgefüllt. Es existieren 7 Schalen, die entweder mit Ziffern als 1., 2., 3.Schale usw. durchnumeriert oder mit Großbuchstaben K bis Q als K -, L -, M -Schale usw. bezeichnet werden. Jede Schale kann nur 2·n² (n = Schalennummer) Elektronen aufnehmen. Die 1. (innere) Schale (n=1) kann demnach 2·1²=2 Elektronen aufnehmen, die 2.Schale (n=2) kann 2·2²=8 Elektronen, die 3.Schale (n=3) kann 2·3²=18 Elektronen aufnehmen usw.. Die äußerste Schale eines Atoms ist aber immer nur mit maximal acht Elektronen (Elektronenoktett) besetzt, danach beginnt die Auffüllung einer neuen Schale. Die einzige Ausnahme hiervon stellt die 1.Schale dar, die bereits mit zwei Elektronen voll besetzt ist und insoweit eine Sonderstellung einnimmt.

Demnach ergibt sich über H_H·n = ½h_s·v_Hn/c·2pr_Hn/l = (½h_s·v_H/c·2pr_H/l)·n

die Gleichung v_Hn = n·(v_H·r_H)/r_Hn bzw. v_Hn² = n²·(v_H·r_H)²/r_Hn². Als nächstes verwenden wir den Umstand, dass die aus der Erschließungs-Wirkung resultierende Kraft und die Ladungskraft betragsmäßig gleich sind. Es gilt F_z = m_es·v_Hn²/r_Hn = ahc/r_Hn²2p = K_Hn. Hieraus ergibt sich v_Hn² = ahc/r_Hn2pm_es . Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen für v_Hn² ergibt sich über n²·(v_H·r_H)²/r_Hn² = ahc/r_Hn2pm_es der Zusammenhang n²·(v_H·r_H)²/r_n = ahc/2pm_es. Mit v_H·r_H = 2cl/ja und h=mcl bzw. h=(m_es4p/ja)·cl kann man schreiben n²·(2cl/ja)²/r_Hn = a(m_es4p/ja)·clc/2pm_es. Es ergibt sich der Radius der n. Bahn zu:

r_Hn = n²·l·2/ja² = n²·r_H

Diese Formel zeigt, dass der Radius der n. Bahn das n² - fache des Radius der ersten Bahn ist. Durch Einsetzen der vg. Formel in die Gleichung v_Hn = n·(v_H·r_H)/r_Hn ergibt sich über v_Hn = n·(v_H·r_H)/r_n = n·(v_H·r_H)/n²r_H die Bahngeschwindigkeit der n. Bahn zu:

v_Hn = v_H/n = a·c/n

Diese Formel zeigt, dass die Bahngeschwindigkeit das 1/n-fache der Geschwindigkeit der ersten Bahn ist. Somit ergibt sich die Umlaufdauer T_Hn über die Formel T_Hn=2pr_Hn/v_Hn zu T_Hn=2pr_H·n²/v_H·n. Damit ergibt sich T_Hn=T_H·n³ bzw. T_Hn=t·4p/ja³·n³=½t·8p/ja³·n³ bzw.

T_Hn = T_H·n³ bzw. T_Hn = n³/2R_t wobei R_t = 1/t·ja³/8p

Die Formeln zeigen, dass sich die Umlaufdauer in der dritten Potenz der Umlaufdauer der ersten Bahn verlängert. Der Faktor R ist in der Literatur als Rydberg–Frequenz bekannt und wird dort mit Formel R_t=m_es·e⁴/(8e₀²·h³) angegeben. Wir können unsere vg. Darstellung für R weiter vereinfachen und wie folgt schreiben: R_t=1/2T_H. Demnach ist R nicht anderes als der Kehrwert der doppelten Umlaufdauer der ersten Bahn. Der Faktor 2 ergibt sich daher, dass in unserer Betrachtung pro einem Umlauf nur die hälftige Erschließungswirkung (½h) erzeugt wird, während sich die Rydberg–Frequenz auf die volle Wirkung (1h) bezieht; um diese volle Wirkung zu erzeugen, müsste sich die Umlaufdauer verdoppeln. Analog zur Ermittlung des Energieinhaltes der Atomhülle ergibt sich für eine bis zur n. Bahn erweiterte Atomhülle die darin enthaltene Feldenergie mit W_Hn = -½m_es·v_Hn² und v_Hn = v_H/n = a·c/n zu:

W_Hn = -½m_es·v_H²/n² = -½m_es·a²c²/n²

Diese Formel zeigt an, dass der Energieinhalt bis zur n. Bahn um den Faktor 1/n² höher liegt als der Energieinhalt bis zur ersten Bahn.